Коэффицие́нт ра́нговой корреля́ции Спи́рмена, мера зависимости двух случайных величин (признаков) $X$ и $Y$, основанная на ранжировании независимых результатов наблюдений $\left(X_1, Y_1\right), \ldots,\left(X_n, Y_n\right)$. Если ранги значений $X$ расположены в естественном порядке $i=1, \ldots, n$, а $R_i$ – ранг $Y$, соответствующий той паре $(X, Y)$, для которой ранг $X$ равен $i$, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется формулой$$r_s=\frac{12}{n\left(n^2-1\right)} \sum_{i=1}^n\left(i-\frac{n+1}{2}\right)\left(R_i-\frac{n+1}{2}\right)$$или, что равносильно,$$r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum\nolimits_{i=1}^n d_i^2}{n\left(n^2-1\right)},$$где $d_i$ – разность между рангами $X_i$ и $Y_i$. Значение $r_s$ меняется от $-1$ до $+1$ , причём $r_s=+1$, когда последовательности рангов полностью совпадают, то есть $i=R_i, i=1, \ldots, n$, и $r_s=-1$, когда последовательности рангов полностью противоположны, то есть $i=(n+1)-R_i$, $i=1, \ldots, n$. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена, как и любая другая ранговая статистика, применяется для проверки гипотезы независимости двух признаков. Если признаки независимы, то $\mathsf{E} r_s=0$, $\mathsf{D} r_s=\dfrac{1}{n-1}$. Таким образом, по величине отклонения $r_s$ от нуля можно сделать вывод о зависимости или независимости признаков. Для построения соответствующего критерия вычисляется распределение $r_s$ для независимых признаков $X$ и $Y$. При $4 \leqslant n \leqslant 10$ используют таблицы точного распределения (Кендэл. 1975; Большев. 1983), а при $n>10$ можно воспользоваться, например, тем, что случайная величина $\sqrt{n-1} r_s$ при $n \rightarrow \infty$ распределена асимптотически нормально с параметрами $(0,1)$. В последнем случае гипотеза независимости отвергается, если $\left|r_s\right|>u_{1-\frac{\alpha}{2}} / \sqrt{n-1}$, где $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ есть корень уравнения $\Phi(u)=1-\frac{\alpha}{2}$ [$\Phi(u)$ – функция стандартного нормального распределения].

В предположении, что $X$ и $Y$ имеют совместное нормальное распределение с обычным коэффициентом корреляции $\rho$, при достаточно больших $n$$$\mathsf E r_s \sim \frac{6}{\pi} \arcsin \frac{\rho}{2},$$и поэтому величину $2 \sin \dfrac{\pi}{6} r_s$ можно использовать в качестве оценки для $\rho$.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена был назван по имени психолога Ч. Спирмена (Spearman. 1904), который использовал его в исследованиях по психологии вместо обычного коэффициента корреляции. Критерии, основанные на коэффициенте ранговой корреляции Спирмена и на коэффициенте ранговой корреляции Кендалла, асимптотически эквивалентны (при $n=2$ соответствующие ранговые статистики совпадают).