Характеризацио́нные теоре́мы в теории вероятностей и математической статистике, теоремы, устанавливающие связь между типом распределения случайных величин или случайных векторов и некоторыми общими свойствами функций от них.

Пример 1. Пусть $X$ – трёхмерный случайный вектор такой, что:

1) его проекции $X_1$, $X_2$, $X_3$ на какие-либо три взаимно ортогональные оси независимы и

2) плотность $p(x)$, $x=(x_1, x_2, x_3)$, распределения вероятностей $X$ зависит только от $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Тогда распределение $X$ нормально и

$$p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\sigma^2}\exp\left\{-\frac1{2\sigma^2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right\},$$где $\sigma>0$ – некоторая постоянная (закон Максвелла для распределения скоростей молекул при стационарном состоянии газа).

Пример 2. Пусть $X\in\mathbb R^n$ – случайный вектор с независимыми и одинаково распределёнными компонентами $X=(X_1,\ldots, X_n)$. Если распределение нормально, то «эмпирическое среднее»

$$\overline{X}=\frac1n\sum_{j=1}^nX_j$$и «эмпирическая дисперсия»

$$\overline{s^2}=\frac1n\sum_{j=1}^n(X_j-\overline X)^2$$будут независимыми случайными величинами. Обратно, если они независимы, то распределение $X$ нормально.

Пример 3. Пусть $X\in\mathbb R^n$ – вектор с независимыми и одинаково распределёнными компонентами, $a_1,\ldots,a_n$, $b_1,\ldots,b_n$ – отличные от нуля постоянные. Случайные величины

$$Y_1=a_1X_1+\ldots+a_nX_n$$и

$$Y_2=b_1X_1+\ldots+b_nX_n$$будут независимы тогда и только тогда, когда $X$ имеет нормальное распределение. Последнее утверждение остаётся верным, если предположение, что $Y_1$ и $Y_2$ независимы, заменить предположением, что они одинаково распределены, добавив, однако, некоторые ограничения на коэффициенты $a_j$ и $b_j$.

Подобного рода характеризация распределения случайного вектора $X\in\mathbb R^n$ свойством одинаковой распределённости или независимости двух многочленов $Q_1(X)$ и $Q_2(X)$ даётся рядом характеристических теорем, играющих важную роль в математической статистике.