Инвариа́нтное интегри́рование на группе, интегрирование функций на топологической группе, обладающее некоторым определённым свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно, пусть $G$ – локально компактная топологическая группа, $C_0(G)$ – векторное пространство всех непрерывных финитных (с компактными носителями) комплекснозначных функций на $G$, $I$ – интеграл на $C_0(G)$, т. е. линейный положительный ($If\ge 0$ при $f\ge 0$) функционал на $C_0(G)$. Интеграл $I$ называется левоинвариантным (правоинвариантным) , если $I(gf)=If$ [соответственно, $I(fg)=If$] для всех $g\in G$, $f\in C_0(G)$; здесь$$(gf)(x) = f(g^{-1}x),\quad (fg)(x) = f(xg^{-1}).$$Интеграл $I$ называется двусторонне инвариантным, если он одновременно лево- и правоинвариантен. Отображение $I\to\hat I$, где $\hat If = I\hat f$, $\hat f(x) = f(x^{-1})$, определяет взаимно однозначное соответствие между классами левоинвариантных и правоинвариантных интегралов в $C_0(G)$. Если $I =\hat I$, то интеграл $I$ называется инверсионно инвариантным.

На всякой локально компактной группе $G$ существует ненулевой левоинвариантный интеграл, единственный с точностью до числового множителя (теорема Хаара – Неймана – Вейля). Этот интеграл называется левым интегралом Хаара. Имеет место равенство$$I(fg)=\Delta (g) If,$$где $g\in G$, $f \in C_0(G)$, а $\Delta$ – непрерывный гомоморфизм группы $G$ в мультипликативную группу положительных действительных чисел (положительный характер). При этом $\hat I f = I(f/\Delta)$. Характер $\Delta$ называется модулем группы $G$. Если $\Delta(g)\equiv 1$, то группа $G$ называется унимодулярной. В этом случае $I$ является двусторонне инвариантным интегралом.

В частности, унимодулярна всякая компактная группа (причём $I1<\infty$, $\hat I = 1I$) и всякая дискретная группа [причём $If = \sum_g f(g)$, $f\in C_0(G)$].

Согласно теореме Рисса, всякий интеграл на $C_0(G)$ является интегралом Лебега по некоторой борелевской мере $\mu$, определяемой однозначно в классе регулярных борелевских мер, конечных на каждом компактном подмножестве $K\subset G$. Левоинвариантная (правоинвариантная) мера $\mu$, отвечающая левому (правому) интегралу Хаара в $C_0(G)$, называется левой (правой) мерой Хаара на $G$.

Пусть $H$ – замкнутая подгруппа в $G$, $\Delta_0$ – модуль группы $H$. Если $\Delta_0$ продолжается до непрерывного положительного характера группы $G$, то на левом однородном пространстве $X = G/H$ существует относительно инвариантный интеграл $J$, т. е. положительный функционал на пространстве $C_0(X)$ непрерывных финитных функций на $X$, удовлетворяющий тождеству$$J(gf) = \delta(g)Jf$$для всех $g\in G$, $f\in C_0(X)$; здесь$$(gf)(x) = f(g^{-1}x),\quad \delta(g)= \Delta_0(g)/\Delta(g),$$$\Delta$ – модуль группы $G$. Этот интеграл определяется по правилу $Jf= I(\delta\tilde f)$, где $I$ – левый интеграл Хаара на $G$, $\tilde f$ – функция на $G$ такая, что$$f(gH) = I_0 ((g\tilde f)_H),$$($I_0$– левый интеграл Хаара на $H$, а $\varphi_H$ – сужение функции $\varphi$ на подгруппу $H$). Это определение корректно, поскольку $\tilde f\to f$ является отображением $C_0(G)$ на $C_0(X)$ и $Jf= 0$ при $f= 0$. С инвариантным интегрированием тесно связано понятие инвариантного среднего.