Инвариа́нт Ха́ссе – Минко́вского (инвариант Хассе, символ Хассе) $\varepsilon(f)$ невырожденной квадратичной формы $f \sim a_1 x_1^2+\ldots+a_n x_n^2$ над локальным полем $K$ характеристики $\neq 2$ (соответственно над полями $K=\mathbb{R}, \mathbb{C}$), произведение

$$\prod_{i<j}\left(a_i, a_j\right)= \pm 1,$$где $(\,, )$ – квадратичный символ Гильберта, т. е. $(a, b)=1$, если квадратичная форма $a x^2+b y^2$ представляет $1$ в поле $K$ и $(a, b)=-1$ в противном случае. Инвариант Хассе зависит только от класса эквивалентности формы $f$, а не от выбора диагональной формы в этом классе. Иногда инвариант Хассе определяют как произведение $\prod_{i \leqslant j}\left(a_i, a_j\right)$, что отличается от приведённого выше определения множителем $(d(f), d(f))$, где $d(f)$ – дискриминант формы $f$.

В случае локального поля $K$ число $n$ переменных, дискриминант и инвариант Хассе определяют класс формы $f$. При $n \geqslant 3$ инварианты $d(f)$ и ${\varepsilon}(f)$ могут принимать любые значения независимо друг от друга; при $n=2$ исключается случай $d(f)=-1$, $\varepsilon(f)=-1$; при $n=1$ всегда $\varepsilon(f)=1$.

В случае $K=\mathbb{R}$ инвариант Хассе выражается через сигнатуру, а именно,

$$\varepsilon(f)=(-1)^{s(s-1) / 2},$$где $s$ – отрицательный индекс инерции формы $f$. В случае $K=\mathbb{C}$ всегда $\varepsilon(f)=1$.

Для невырожденной квадратичной формы $f$ над глобальным полем $K$ характеристики $\neq 2$ и любого нормирования $v$ поля $K$ определяется локальный инвариант Хассе $\varepsilon_v(f)$ как инвариант Хассе квадратичной формы $f$, рассматриваемой над пополнением $K_v$ поля $K$ относительно топологии, определяемой нормированием $v$. Число переменных, дискриминант, локальные инварианты Хассе и сигнатуры над вещественными пополнениями поля $K$ определяют класс формы $f$.

Необходимые и достаточные условия существования невырожденной квадратичной формы от $n$ переменных над глобальным полем $K$ характеристики $\neq 2$, имеющей заданный дискриминант $d \neq 0$, заданные локальные инварианты Хассе $\varepsilon_v$ и, для вещественных нормирований $v$ – заданные отрицательные индексы инерции $s_v$, состоит в следующем:

a) $\varepsilon_v \neq 1$ лишь для конечного числа нормирований $v$;

b) $\prod_v \varepsilon_v=1$ (следствие квадратичного закона взаимности);

c) $\varepsilon_v=1$, если $n=1$ или $n=2$ и $d \in(-1)\left(K_v^*\right)^2$;

d) $\varepsilon_v=(-1)^{s_v(s_v-1)/2}$ для каждого вещественного нормирования $v$;

е) $\varepsilon_v=1$ для каждого комплексного нормирования $v$;

f) $\operatorname{sgn} d_v=(-1)^{s_v}$ для каждого вещественного нормирования $v$ (здесь $d_v$ – образ $d$ при изоморфизме $K_v \overset{\sim}{\to}\mathbb{R}$).

Инвариант Хассе предложен Х. Хассе (Hasse. Über die Darstellbarkeit von Zahlen... 1923; Hasse. Über die Äquivalenz... 1923; Hasse. Symmetrische Matrizen... 1923; Hasse. 1924).