Интегра́л Хе́ллингера, интеграл типа Римана от функции множества $f(E)$. Если $(X, \mu)$ – пространство с конечной неотрицательной несингулярной мерой, $f(E)$, $E\subset X$, – вполне аддитивная функция, причём $f(E)=0$, если $\mu E=0$; $\delta=\{E_n\}_1^N$ – разбиение $X$, то

$$S_\delta = \sum_{n=1}^N \frac{f^2(E_n)}{\mu E_n}$$и интегралом Хеллингера функции $f(E)$ по $X$ называется

$$\int_X \frac{f^2(dE)}{d\mu}= \underset{\delta}{\sup} S_\delta,$$если он конечен. Интеграл Хеллингера можно рассматривать и как предел по направленному множеству разбиений: $\delta_1 < \delta_2$, если $\delta_2$ есть подразбиение $\delta_1$.

Если существует суммируемая функция $\varphi(x) : X\to R$ такая, что $f(E)$ есть интеграл Лебега $\int_E \varphi d\mu$, то интеграл Хеллингера выражается через интеграл Лебега

$$\int_X = \frac{f^2(dE)}{d\mu} = \int_X \varphi^2 d\mu.$$Э. Хеллингер (Hellinger. 1909) дал определение интеграла для $X=[a, b]$ в терминах функций точки.