Интегра́л эне́ргии, величина, представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергий механической системы в некоторый момент времени.

Пусть, например, в ограниченной области $\Omega$ с кусочно-гладкой границей $S$ для уравнения гиперболического типа$$\rho \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)+q u=F(x, t), \tag{1}$$где$$p \in C^{1}(G),\quad q \in C(\overline{G}),\quad p(x)>0,\quad q(x) \geqslant 0,\quad x \in C(G),\quad \rho \in C(G),$$поставлена смешанная задача$$\left.u\right|_{t=+0}=u_{0}(x),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=+0}=u_{1}(x), \tag{2}$$$$\alpha u+\left.\beta \frac{\partial u}{\partial n}\right|_{S}=0, \quad t \geqslant 0, \tag{3}$$где

$$\alpha \in C(S),\quad \beta \in C(S),\quad \alpha(x) \geqslant 0,\quad \beta(x) \geqslant 0,\quad \alpha(x)+\beta(x)>0.$$Классическое решение задачи (1) – (3) – функция $u(x, t)$ класса $C^{2}(G \times(0, \infty)) \cap C^{1}(\overline{G \times(0, \infty)})$, удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре $G \times(0, \infty)$, начальным условиям (2) на нижнем основании и граничным условиям (3) на боковой поверхности цилиндра.

Справедливо соотношение$$J^{2}(t)=J^{2}(0)+\int_{0}^{t} \int_{G} F(x, t) \frac{\partial u(x, \tau)}{\partial \tau}\, d \tau,\quad t \geqslant 0, \tag{4}$$где $J^2(t)$ – интеграл энергии$$J^{2}(t)=\frac{1}{2} \int_{G}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+p|\operatorname{grad} u|^{2}+q u^{2}\right]\, d x+\frac{1}{2} \int_{S_{0}} p \frac{\alpha}{\beta} u^{2}\, d S;$$в частности,$$J^{2}(0)=\frac{1}{2} \int_{G}\left(\rho u_{1}^{2}+p\left|\operatorname{grad} u_{0}\right|^{2}+q u_{0}^{2}\right) d x+ \frac{1}{2} \int_{S_{0}} p \frac{\alpha}{\beta} u_{0}^{2}\, d S.$$При $F=0$ равенство (4) принимает вид$$J^{2}(t)=J^{2}(0),\quad t \geqslant 0.$$Физический смысл интеграла энергии состоит в том, что полная энергия колеблющейся системы при отсутствии внешних возмущений не меняется со временем (закон сохранения энергии).