Эллипсоида́льные координа́ты (эллиптические координаты в пространстве), числа $\lambda, \mu$ и $\nu$, связанные с декартовыми прямоугольными координатами $x, y$ и $z$ формулами

$$\begin{aligned} x^2 & =\frac{\left(\lambda+a^2\right)\left(\mu +a^2\right)\left(\nu+a^2\right)}{\left(b^2 -a^2\right)\left(c^2-a^2\right)}, \\ y^2 & =\frac{\left(\lambda^2+b^2\right)\left(\mu +b^2\right)\left(\nu+b^2\right)}{\left(a^2 -b^2\right)\left(c^2-b^2\right)}, \\ z^2 & =\frac{\left(\lambda+c^2\right)\left(\mu +c^2\right)\left(\nu+c^2\right)}{\left(a^2 -c^2\right)\left(b^2-c^2\right)}, \end{aligned}$$где $-a^2<\nu <-b^2<\mu<-c^2< u<\infty$. Координатные поверхности (см. рис.): эллипсоиды

Координатные поверхности.Координатные поверхности.$(\lambda= \operatorname{const})$, однополостные гиперболоиды $(\mu=\operatorname{const})$ и двуполостные гиперболоиды $(\nu =\operatorname{const})$ с центрами в начале координат. Система эллипсоидальных координат – ортогональная. Каждой тройке чисел $\lambda, \mu$ и $\nu$ соответствуют 8 точек (по одной в каждом октанте), симметричных друг другу относительно плоскостей системы $Oxyz$.

Коэффициенты Ламе:

$$\begin{aligned} & L_\lambda=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(\lambda-\mu)(\mu-\nu)}{\left(\lambda +a^2\right)\left(\lambda+b^2\right)\left(\lambda+c^2\right)}}, \\ & L_\mu=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(\lambda-\mu)(\nu-\mu)}{\left(\mu+a^2\right) \left(\mu+b^2\right)\left(\mu+c^2\right)}}, \\ & L_\nu=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(\lambda-\nu)(\mu-\nu)}{\left(\nu+a^2\right) \left(\nu+b^2\right)\left(\nu+c^2\right)}} . \end{aligned}$$Если в условиях $a^2>b^2>c^2>0$ при определении эллипсоидальных координат допускать и равенства, то можно получить вырожденные системы эллипсоидальных координат.