Комплексная структура

Компле́ксная структу́ра, 1) комплексная структура на действительном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ – структура комплексного векторного пространства на ${\displaystyle V}$, согласованная с исходной структурой. Комплексная структура на ${\displaystyle V}$ полностью определяется заданием оператора умножения на число ${\displaystyle i}$, роль которого может играть произвольное линейное преобразование ${\displaystyle I:V\rightarrow V}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle I^{2}=-E}$. Поэтому преобразование такого типа часто называется комплексной структурой на ${\displaystyle V}$. Если ${\displaystyle V}$ снабжено комплексной структурой и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ – базис этого пространства над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$, ${\displaystyle Iv_{1},\ldots ,Iv_{n}}$ образуют его базис над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, так что ${\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbb {R} }V=2\operatorname {dim} _{\mathbb {C} }V}$. Если ${\displaystyle I}$ – комплексная структура на ${\displaystyle V}$, то комплексификация ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ пространства ${\displaystyle V}$ распадается в прямую сумму ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{+}+V_{-}}$, где ${\displaystyle V_{\pm }}$ – собственные подпространства преобразования ${\displaystyle I}$, продолженного на ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$, отвечающие собственным значениям ${\displaystyle \pm i}$, причём ${\displaystyle V_{-}={\bar {V}}_{+}}$. Обратно, всякое комплексное подпространство ${\displaystyle S\subset V^{\mathbb {C} }}$ такое, что ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=S+{\bar {S}}}$, определяет на ${\displaystyle V}$ комплексную структуру, для которой ${\displaystyle V_{+}=S}$.

Любые две комплексные структуры на ${\displaystyle 2n}$-мерном действительном пространстве ${\displaystyle V}$ переводятся друг в друга некоторым автоморфизмом пространства ${\displaystyle V}$. Множество всех комплексных структур на ${\displaystyle V}$ является, таким образом, однородным пространством группы ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ и отождествляется с факторпространством ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )/H}$, где ${\displaystyle H\cong GL(n,\mathbb {C} )}$ – подгруппа, состоящая из невырожденных матриц вида ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}A&B\\-B&A\end{Vmatrix}}}$.

2) Комплексная структура – структура комплексного аналитического многообразия. Если ${\displaystyle M}$ – дифференцируемое многообразие, то комплексная структура на ${\displaystyle M}$ – это комплексный аналитический атлас на ${\displaystyle M}$, согласованный с заданным на ${\displaystyle M}$ действительным дифференцируемым атласом. При этом ${\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbb {R} }M=2\operatorname {dim} _{\mathbb {C} }M}$. Комплексная структура на ${\displaystyle M}$ индуцирует комплексную структуру на каждом касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}(M)}$ и тем самым индуцирует на ${\displaystyle M}$ почти комплексную структуру, которая полностью определяет исходную комплексную структуру на ${\displaystyle M}$.