Глобальный квенч

В квантовой теории информации квенчи играют важную роль, помогая установить законы распространения квантовой информации, например через изучение динамики энтропии запутанности (примером может служить эффекты «цунами запутанности» и «потери памяти», возникающие в общих классах систем). Эффект скрамблинга квантовой информации – её уничтожения в классах хаотических систем – становится зачастую особенно явным после квенча системы. Различные квенчи являются естественной моделью неравновесных явлений в физике конденсированного состояния вещества, физике плазмы, квантовой теории поля и гравитации (^[1]).

Изучение квенчей в квантовых системах помогает лучше понять внутреннюю структуру теории, её транспортные свойства, такие как проводимость и др. Точные ответы для описания свойств теории после квенча доступны для достаточно узкого класса моделей (интегрируемые модели, свободные теории и их аналоги в теории конденсированного состояния вещества, теории с конформной симметрией).

Механизм квенча можно пояснить на простейшем примере глобального квенча квантового гармонического осциллятора. Такой квенч задаётся скачкообразным изменением частоты осциллятора от начального значения ${\displaystyle \omega _{0}}$ до конечного ${\displaystyle \omega }$. Исходный гамильтониан осциллятора ${\displaystyle H_{0}}$ (до квенча) в канонических переменных координата – импульс, ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$, равен

${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}}}$.

Новый гамильтониан (после квенча), с помощью которого система будет эволюционировать, совпадает по форме с исходным за исключением частоты:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}}$.

Скачкообразное изменение частоты является идеализацией процесса, временной масштаб ${\displaystyle \tau }$ которого много меньше характерного времени релаксации системы, в данном случае ${\displaystyle \tau \ll 1/\omega _{0}}$.

В представлении Гейзенберга временная эволюция осциллятора ${\displaystyle q(t)}$ после квенча описывается уравнением движения:

${\displaystyle {\ddot {q}}(t)+\omega ^{2}q(t)=0}$,

решением которого является

${\displaystyle q(t)=q(0)\cos \omega t+p(0){\frac {\sin \omega t}{m\omega }}}$.

Используя это решение и каноническое коммутационное соотношение ${\displaystyle [q(0),p(0)]=i}$, можно записать выражение для двухточечной корреляционной функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle 0\right|q(t_{1})q(t_{2})\left|0\right\rangle &=\left\langle 0\right|q(0)^{2}\left|0\right\rangle \cos \omega t_{1}\cos \omega t_{2}+\left\langle 0\right|p(0)^{2}\left|0\right\rangle {\frac {\sin \omega t_{1}\sin \omega t_{2}}{m^{2}\omega ^{2}}}+\end{aligned}}}$

В итоге двухточечная корреляционная функция гармонического осциллятора после глобального квенча имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle 0\right|{\mathcal {T}}\{q(t_{1})q(t_{2})\}\left|\psi _{00}\right\rangle &={\frac {1}{2m\omega }}\,e^{-i\omega \mid t_{1}-t_{2}\mid }+\\&+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{4m^{2}\omega ^{2}\omega _{0}}}\cos \omega (t_{1}-t_{2})+{\frac {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}{4m^{2}\omega ^{2}\omega _{0}}}\cos \omega (t_{1}+t_{2}).\end{aligned}}}$

Первое слагаемое этого выражения описывает эволюцию собственного состояния гамильтониана, второе и третье возникают в результате произошедшего квенча, последнее слагаемое не симметрично относительно трансляций по времени, хотя возмущение системы задаётся в терминах трансляционно-инвариантного по времени гамильтониана. В пределе ${\displaystyle \omega \to \omega _{0}}$ последствия влияния квенча на систему исчезают, поскольку этот предел соответствует невозмущённой системе. В этом случае двухточечная корреляционная функция гармонического осциллятора после глобального квенча принимает вид фейнмановского пропагатора квантового гармонического осциллятора:

${\displaystyle \left\langle 0\right|{\mathcal {T}}\{q(t_{1})q(t_{2})\}\left|\psi _{00}\right\rangle ={\frac {1}{2m\omega }}\,e^{-i\omega \mid t_{1}-t_{2}\mid }}$.

Данный результат прямолинейно обобщается на систему линейно-взаимодействующих гармонических осцилляторов и – для бесконечного их числа – на свободные теории поля (^[2]). Эволюция двухточечной корреляционной функции после глобального квенча в релятивистской квантовой теории поля приводит к «эффекту горизонта» – корреляционные функции в релятивистской теории поля ограничены собственным причинным конусом, в то время как в решёточных моделях существование такого конуса следует из границы Либа – Робинсона.

В некоторых случаях система после квенча асимптотически приближается к стационарному состоянию с термальными характеристиками. Такой процесс называется термализацией (англ. thermalization).

После квенча система эволюционирует унитарно, т. е. изолированно от внешней среды. Избыток энергии по сравнению с основным состоянием итогового гамильтониана распределяется по соответствующим ему уровням возбуждения. Было показано (Calabrese. 2007), что двухточечная корреляционная функция в свободной теории поля асимптотически стремится к термальной корреляционной функции с эффективной температурой, специфичной для каждой моды. Распределение по модам описывается обобщённым распределением Гиббса (англ. generalized Gibbs еnsemble). Такая зависимость от импульса ожидаема, поскольку моды в свободных теориях эволюционируют независимо. Однако для локальных наблюдаемых это уже не так: квантовая интерференция между модами приводит к единой эффективной температуре.

Интересной и важной в связи с явлением термализации представляется интерпретация глобального квенча с голографическим соответствием. Т. к. вакуумное состояние конформной теории поля (в произвольной размерности) соответствует пространству анти-де Ситтера, а термальное состояние – анти-де Ситтеровской чёрной дыре. Таким образом, процесс образования чёрной дыры (коллапса) с точки зрения голографической дуальности можно рассматривать как модель термализации взаимодействующей теории поля в результате квенча (возмущения). Ряд аналитических моделей коллапса чёрных дыр (например, модель Вайдьи) допускает получение различных аналитических результатов для нетривиальных величин, таких как корреляционные функции, энтропия запутанности, Вильсоновские петли. В рамках голографического соответствия можно показать, что широкий класс моделей обнаруживает эффект «цунами запутанности» в результате глобального квенча. Данный эффект описывает последовательный рост и переход к режиму линейного роста энтропии запутанности в системах очень общих классов. За «цунами запутанности» в данном классе систем следует режим «потери памяти» – система, выведенная из равновесия, через некоторое время теряет любую информацию об области, для которой рассматривается энтропия запутанности.

См. также Локальный квенч.