Холлова подгруппа

Хо́ллова подгру́ппа (холловская подгруппа), подгруппа конечной группы, порядок которой взаимно прост с её индексом. Название связано с именем Ф. Холла, который в 1920-х гг. начал изучать такие подгруппы в конечных разрешимых группах.

В конечной π-отделимой группе существует холлова ${\displaystyle \pi }$-подгруппа (холлова подгруппа, порядок которой делится только на простые числа из ${\displaystyle \pi }$, а индекс взаимно прост с любым числом из ${\displaystyle \pi }$) и все холловы ${\displaystyle \pi }$-подгруппы сопряжены. Конечная разрешимая группа для любого множества ${\displaystyle \pi }$ простых чисел обладает холловой ${\displaystyle \pi }$-подгруппой. Любая ${\displaystyle \pi }$-подгруппа конечной разрешимой группы содержится в холловой ${\displaystyle \pi }$-подгруппе, и все холловы ${\displaystyle \pi }$-подгруппы сопряжены. Любая холлова ${\displaystyle \pi }$-подгруппа является силовской ${\displaystyle \pi }$-подгруппой. Для нормальной холловой подгруппы ${\displaystyle H}$ конечной группы ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle G}$ всегда существует дополнение, т. е. такая подгруппа ${\displaystyle D}$, что ${\displaystyle G=H\cdot D}$ и ${\displaystyle H\cap D}$ – единичная подгруппа; все дополнения для ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ сопряжены. Если в группе есть нильпотентная холлова ${\displaystyle \pi }$-подгруппа, то все холловы ${\displaystyle \pi }$-подгруппы сопряжены и любая ${\displaystyle \pi }$-подгруппа содержится в некоторой холловой ${\displaystyle \pi }$-подгруппе. В общем случае холлова подгруппа не обладает такими свойствами. Например, знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$ порядка ${\displaystyle 60}$ не имеет холловой ${\displaystyle \{2,5\}}$-подгруппы. В ${\displaystyle A_{5}}$ есть холлова ${\displaystyle \{2,3\}}$-подгруппа порядка ${\displaystyle 12}$, но подгруппа порядка ${\displaystyle 6}$ не лежит ни в какой холловой. Наконец, в простой группе порядка ${\displaystyle 168}$ холловы ${\displaystyle \{2,3\}}$-подгруппы не сопряжены.