Силовская подгруппа

Си́ловская подгру́ппа (подгруппа Силова), максимальная ${\displaystyle \pi }$-подгруппа группы, где ${\displaystyle \pi }$ – некоторое множество простых чисел, т. е. периодическая подгруппа, порядки элементов которой делятся только на простые числа из ${\displaystyle \pi }$, и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе с таким свойством (силовская ${\displaystyle \pi }$-подгруппа). Основное значение для теории групп имеют силовские ${\displaystyle p}$-подгруппы, то есть силовские подгруппы, множество ${\displaystyle \pi }$ у которых состоит из простого числа ${\displaystyle p}$. Название дано в честь П. Л. Силова, доказавшего ряд теорем о таких подгруппах в конечной группе (см. Теоремы Силова).

Силовские подгруппы играют важную роль в теории конечных групп. Так, вопрос о дополняемости нормальной абелевой подгруппы сводится к такому же вопросу для силовских подгрупп; существование нетривиальной ${\displaystyle p}$-факторгруппы связано с существованием нетривиальной ${\displaystyle p}$-факторгруппы у нормализатора силовской ${\displaystyle p}$-подгруппы; строение конечной простой группы во многом определяется строением её силовской 2-подгруппы. В теории бесконечных групп, исключая теорию локально конечных групп, роль силовских подгрупп меньше, поскольку уже основной вопрос о сопряжённости силовских ${\displaystyle p}$-подгрупп решается положительно только в отдельных классах бесконечных групп.