Функция Римана

Фу́нкция Ри́мана, 1) функция Римана в теории тригонометрических рядов – функция, введённая Б. Риманом (1851) (Риман. 1948^[1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрическим рядом. Пусть дан ряд

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)}$ (*)

с ограниченными последовательностями ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$, ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$. Функцией Римана для этого ряда называется функция ${\displaystyle F(x)}$, полученная почленным двукратным интегрированием данного ряда:

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}x^{2}}{4}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)+Cx+D,\mathbb {C} ,D={\text{ const. }}}$

Теоремы Римана. 1) Пусть ряд (*) сходится в точке ${\displaystyle x_{0}}$ к числу ${\displaystyle S}$. Тогда производная Шварца ${\displaystyle D_{2}F\left(x_{0}\right)=S}$. 2) Пусть ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle {{\ce {b_n -> 0}}}}$ при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$. Тогда в любой точке ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{n->\infty }{\frac {F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h}}=0}$,

причём сходимость на любом промежутке равномерная, т. е. ${\displaystyle F(x)}$ – равномерно гладкая функция.

Если ряд (*) сходится на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ к ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f(x)\in L[0,2\pi ]}$, то ${\displaystyle D_{2}F(x)=f(x)}$ на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ и

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}dt\int _{0}^{t}f(u)du+Cx+D}$.

Пусть ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle {{\ce {b_n -> 0}}}}$ при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$ и пусть

${\displaystyle {\underline {S}}(x)=\lim _{n->\infty }S_{n}(x)\quad {\text{ и }}\quad {\overline {S}}(x)=\varlimsup _{n->\infty }S_{n}(x)}$

конечны в точке ${\displaystyle x}$, а

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{2}}({\underline {S}}(x)+{\overline {S}}(x)),\quad \delta (x)={\frac {1}{2}}(S(x)-{\underline {S}}(x))}$.

Тогда нижняя и верхняя производные Шварца ${\displaystyle {\underline {D_{2}}}F(x)}$ и ${\displaystyle {\overline {D}}_{2}F(x)}$ принадлежат ${\displaystyle [S-\mu \delta ,S+\mu \delta ]}$, где ${\displaystyle \mu }$ – некоторая абсолютная постоянная (лемма Дюбуа-Реймонa).

2) Функция Римана в теории дифференциальных уравнений – см. статью Метод Римана.