Метод Римана

Ме́тод Ри́мана (метод Римана – Вольтерры), метод решения задачи Гурса и задачи Коши для линейных гиперболического типа уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu\equiv u_{xy}+a(x,y)u_{x}+b(x,y)u_{y}+c(x,y)u=\\=f(x,y).\end{aligned}}}$

B методе Римана фундаментальную роль играет функция Римана ${\displaystyle R=R(x,y;\xi ,\eta )}$, которая при определённых предположениях относительно заданных функций ${\displaystyle a,b,c}$ и ${\displaystyle f}$ однозначно определяется как решение специальной задачи Гурса:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R(\xi ,y;\xi ,\eta )=\exp \int _{\eta }^{y}a(\xi ,t)\,dt;\\&R(x,\eta ;\xi ,\eta )=\exp \int _{\xi }^{x}b(t,\eta )\,dt\end{aligned}}}$

для сопряжённого уравнения

${\displaystyle L^{*}R=R_{xy}-{\frac {\partial }{\partial x}}(a,R)-{\frac {\partial }{\partial y}}(bR)+cR=0}$.

Функция ${\displaystyle R}$ по переменным ${\displaystyle \xi ,\eta }$ является решением однородного уравнения

${\displaystyle R_{\xi \eta }+a(\xi ,\eta )R_{\xi }+b(\xi ,\eta )R_{\eta }+c(\xi ,\eta )R=0}$.

При ${\displaystyle a=b=0}$, ${\displaystyle c=\operatorname {const} }$ функция ${\displaystyle R=J_{0}({\sqrt {4c(x-\xi )(y-\eta )}})}$, где ${\displaystyle J_{0}(z)}$ – функция Бесселя порядка нуль.

Функцию Римана можно определить как решение нагруженного интегрального уравнения Вольтерры:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(x,y;\xi ,\eta )-\int _{\eta }^{y}a(x,\tau )R(x,\tau ;\xi ,\eta )\,d\tau -\\-\int _{\xi }^{x}b(t,y)R(t,y;\xi ,\eta )\,dt+\\+\int _{\xi }^{x}dt\int _{\eta }^{y}c(t,\tau )R(t,\tau ;\xi ,\eta )\,d\tau =1.\end{aligned}}}$ (2)

Метод Римана решения задачи Гурса реализуется следующим образом: для любой дифференцируемой до соответствующего порядка функции ${\displaystyle u=u(x,y)}$ имеет место тождество

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}[uR(x,y;\xi ,\eta )]-R(x,y;\xi ,\eta )Lu=\\={\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-aR\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[u\left({\frac {\partial R}{\partial x}}-bR\right)\right],\end{aligned}}}$

из которого интегрированием по частям получается, что любое решение ${\displaystyle u}$ уравнения (1) представляет собой решение нагруженного интегрального уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)=R\left(x,y_{0};x,y\right)u\left(x,y_{0}\right)+\\+R\left(x_{0},y;\xi ,y\right)u\left(x_{0},y\right)-R\left(x_{0},y_{0};x,y\right)+\\+\int _{x_{0}}^{x}\left[b\left(t,y_{0}\right)R\left(t,y_{0};x,y\right)-{\frac {\partial R\left(t,y_{0};x,y\right)}{\partial t}}\right]\times \\\times u\left(t,y_{0}\right)\,dt+\int _{y_{0}}^{y}\left[a\left(x_{0},\tau \right)R\left(x_{0},\tau ;x,y\right)-\right.\\\left.\quad -{\frac {\partial R\left(x_{0},\tau ;x,y\right)}{\partial \tau }}\right]u\left(x_{0},\tau \right)\,d\tau +\\+\int _{x_{0}}^{x}dt\int _{y_{0}}^{y}R(t,\tau ;x,y)f(x,\tau )\,d\tau ,\,\,x>x_{0},\,\,y>y_{0}.\end{aligned}}}$ (3)

Из (3) непосредственно вытекает корректность задачи Гypca${\displaystyle u\left(x,y_{0}\right)=\varphi (x),\quad u\left(x_{0},y_{0}\right)=\psi (y),\quad \varphi \left(x_{0}\right)=\psi \left(y_{0}\right)}$

для уравнения (1).

Метод Римана приводит решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными на любой гладкой нехарактеристической кривой к нахождению функции Римана и даёт возможность в квадратурах выписать решение этой задачи.

Метод Римана обобщён на широкий класс линейных гиперболических уравнений и систем.

Для случая гиперболического типа системы линейных уравнений с частными производными 2-го порядка

${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+a(x,y)u_{x}+b(x,y)u_{y}+c(x,y)u=f(x,y)}$,

где ${\displaystyle a,b,c}$ – заданные действительные квадратные симметрические матрицы порядка ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle f=\left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}$ – заданный, a ${\displaystyle u=\left(u_{1},\ldots ,u_{m}\right)}$ – искомый векторы, матрица Римана однозначно определяется как решение системы нагруженных интегральных уравнений Вольтерры вида (2), в правой части которой стоит единичная матрица ${\displaystyle I}$ порядка ${\displaystyle m}$.

B. Вольтерра впервые обобщил метод Римана на волновое уравнение

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}-u_{tt}=f(x,y,t).}$ (4)

Роль функции Римана, позволяющей выписать в квадратурах решение задачи Коши с начальными данными на плоскости ${\displaystyle t=\operatorname {const} }$ и задачи Гурса с данными на характеристическом конусе для уравнения (4), играет функция

${\displaystyle R=\log \left[{\sqrt {{\frac {(t-\tau )^{2}}{r^{2}}}-1}}+{\frac {\tau -t}{r}}\right]}$,

где ${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}$.

Метод предложен Б. Риманом (1860).