Формула конечных приращений

Фо́рмула коне́чных прираще́ний (формула Лагранжа), одна из основных формул дифференциального исчисления, связывающая приращение функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ со значениями её производной

${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)}$,

где ${\displaystyle \xi }$ – некоторая точка, удовлетворяющая условию ${\displaystyle a<\xi <b}$. Формула конечных приращений справедлива, если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и имеет производную в каждой точке интервала ${\displaystyle (a,b)}$. Геометрически формула конечных приращений означает, что на графике функции ${\displaystyle y=f(x)}$ существует точка ${\displaystyle (\xi ,f(\xi ))}$, в которой касательная параллельна прямой, соединяющей точки ${\displaystyle (a,f(a))}$ и ${\displaystyle (b,f(b))}$. Формулу конечных приращений часто записывают в виде

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+\Theta h)h}$,

где ${\displaystyle h}$ – приращение аргумента, ${\displaystyle \Theta }$ – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам ${\displaystyle 0<\Theta <1}$.

Формула конечных приращений установлена Ж.-Л. Лагранжем (1797), она является простейшим случаем формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Имеются многочисленные разнообразные обобщения формулы конечных приращений. Например, справедливы формула Коши о приращениях двух функций

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}},\quad a<\xi <b}$

и формула для приращений функции многих переменных

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+h_{1},\ldots ,x_{n}+h_{n})-F(x_{1},\ldots ,x_{n})=\\=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{k}}}(x_{1}+\theta h_{1},\ldots ,x_{n}+\theta h_{n})h_{k},\quad 0<\theta <1\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{n}}$ – приращения аргументов, ${\displaystyle \partial F/\partial x_{k}}$ – частная производная функции ${\displaystyle F}$ по переменной ${\displaystyle x_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$.