Формула Стирлинга

Фо́рмула Сти́рлинга (формула Муавра – Стирлинга), равенство, позволяющее находить приближённые значения факториалов ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n}$ при больших значениях ${\displaystyle n}$ и имеющее вид

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}e^{\theta (n)}}$,

где ${\displaystyle \mid \theta (n)\mid \leqslant {\frac {1}{12n}}}$ и ${\displaystyle e=2,71828..}$. – основание натуральных логарифмов. Часто формула Стирлинга используется в виде

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}}$,

т. е. отношение левой части к правой стремится к единице при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$. Формула Стирлинга в виде ${\displaystyle n!\approx B{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ была открыта А. де Муавром (1730), который нашёл и приближённое значение постоянной ${\displaystyle B}$, равное ${\displaystyle 2,5074}$. С вопросом о точном значении ${\displaystyle B}$ он обратился к Дж. Стирлингу, предложившему (1730) первое асимптотическое разложение для логарифма гамма-функции, т. н. ряд Стирлинга, из которого следует, что ${\displaystyle B={\sqrt {2\pi }}=2,506628..}$.. Для натуральных ${\displaystyle n}$ гамма-функция и число ${\displaystyle n}$ связаны равенством ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$, из ряда Стирлинга следует, что

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\times }$
${\displaystyle \times \left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+...\right)}$.