Формула Пуассона

Фо́рмула Пуассо́на, 1) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в простейших областях, то же, что интеграл Пуассона.

2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad t>0,\quad x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},}$
${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x),\quad u_{t}(x,0)=u_{1}(x)}$

при ${\displaystyle n=3}$ (т. е. для случая трёх пространственных переменных) и имеющая вид (Владимиров. 1981)

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{4\pi a^{2}}}\int _{U(x,at)}{\frac {f(\xi ,t-\mid x-\xi \mid /a)}{\mid x-\xi \mid }}\,d\xi +{}\&\quad {}+{\frac {1}{4\pi a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int _{S(x,at)}u_{0}(\xi )\,ds\right)+{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\int _{S(x,at)}u_{1}(\xi )\,ds}$

(частный случай формулы Кирхгофа), где ${\displaystyle U(x,at)}$, ${\displaystyle S(x,at)}$ – шар и сфера радиуса ${\displaystyle at}$ с центром в точке ${\displaystyle x}$ соответственно, ${\displaystyle d\xi =d\xi _{1}\,d\xi _{2}\,d\xi _{3}}$, ${\displaystyle ds}$ – элемент площади сферы ${\displaystyle S(x,at)}$.

3) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения (1) при ${\displaystyle n=2}$ (т. е. для случая двух пространственных переменных), которая получается из формулы (2) методом спуска и имеет вид (^[1])

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2\pi a}}\int _{0}^{t}\int _{U(x,a(t-\tau ))}{\frac {f(\xi ,\tau )\,d\xi \,d\tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-\mid x-\xi \mid ^{2}}}}+{}\&\qquad {}+{\frac {1}{2\pi a}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{U(x,at)}{\frac {u_{0}(\xi )\,d\xi }{\sqrt {a^{2}t^{2}-\mid x-\xi \mid ^{2}}}}+{}\&\qquad {}+{\frac {1}{2\pi a}}\int _{U(x,at)}{\frac {u_{1}(\xi )\,d\xi }{\sqrt {a^{2}t^{2}-\mid x-\xi \mid ^{2}}}}.}$

В свою очередь, из формулы (3) методом спуска получается формула Д'Аламбера решения задачи Коши (1) для случая одного пространственного переменного (см. ^[2]).

4) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0,\quad t>0,\quad x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},}$
${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

и имеющая вид (Владимиров. 2008)

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\left(4\pi a^{2}t\right)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi )e^{-\mid x-\xi \mid ^{2}/(4a^{2}t)}\,d\xi }$.