Формула Кирхгофа

Фо́рмула Ки́рхгофа, интеграл Кирхгофа, формула

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {f(y,t-r)}{r}}\,d\Omega _{y}+{}}$
${\displaystyle \quad {}+{\frac {1}{4\pi }}\int _{\sigma }\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial n}}-u{\frac {\partial (1/r)}{\partial n}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \tau }}{\frac {\partial r}{\partial n}}\right]_{\tau =t-r}\,d\sigma _{y},}$

которая выражает значение ${\displaystyle u(x,t)}$ решения неоднородного волнового уравнения

${\displaystyle u_{tt}-u_{x_{1}x_{1}}-u_{x_{2}x_{2}}-u_{x_{3}x_{3}}=f(x,t)}$ (2)

в любой точке ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\in \Omega }$ в момент времени ${\displaystyle t}$ через запаздывающий объёмный потенциал

${\displaystyle v_{1}(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {f(y,t-r)}{r}}\,d\Omega _{y},\quad y=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)}$,

с плотностью ${\displaystyle f}$ и через значения функции ${\displaystyle u(y,t)}$ и её производных 1-го порядка на границе ${\displaystyle \sigma }$ области ${\displaystyle \Omega }$ в момент времени ${\displaystyle \tau =t-r}$. Здесь ${\displaystyle \Omega }$ – ограниченная область трёхмерного евклидова пространства с кусочно гладкой границей ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle n}$ – внешняя нормаль к ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle r=\mid x-y\mid }$ – расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Пусть

${\displaystyle v_{1}(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\sigma }{\frac {\mu _{1}(y,t-r)}{r}}\,d\sigma _{y},}$
${\displaystyle v_{2}(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\sigma }{\frac {\partial ^{*}}{\partial ^{*}n}}{\frac {\mu _{2}(y,t-r)}{r}}\,d\sigma _{y},}$

где

${\displaystyle {\frac {\partial ^{*}}{\partial ^{*}n}}{\frac {\mu _{2}(y,t-r)}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial \mu _{2}(y,t-r)}{\partial t}}-\mu _{2}(y,t-r){\frac {\partial (1/r)}{\partial n}}}$.

Интегралы ${\displaystyle v_{1}(x,t)}$ и ${\displaystyle v_{2}(x,t)}$ называются запаздывающими потенциалами простого и двойного слоёв.

Формула Кирхгофа (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение ${\displaystyle u(x,t)}$ уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объёмного потенциала:

${\displaystyle u(x,t)=v_{1}(x,t)+v_{2}(x,t)+v_{3}(x,t)}$.

В случае, когда ${\displaystyle u(x,t)=u(x)}$, ${\displaystyle f(x,t)=f(x)}$ не зависят от ${\displaystyle t}$, формула Кирхгофа принимает вид

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {f(y)}{r}}\,d\Omega _{y}}$
${\displaystyle +{\frac {1}{4\pi }}\int _{\sigma }\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u(y)}{\partial n}}-u(y){\frac {\partial (1/r)}{\partial n}}\right]\,d\sigma _{y}}$

и даёт решение уравнения Пуассона ${\displaystyle \Delta u=-f(x)}$.

Формула Кирхгофа широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если ${\displaystyle \Omega }$ – шар ${\displaystyle \mid y-x\mid \leqslant t}$ радиуса ${\displaystyle t}$ с центром в точке ${\displaystyle x}$, то формула (1) преобразуется в соотношение

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{r\leqslant t}{\frac {f(y,t-r)}{r}}\,dy+tM_{t}[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{t}[\varphi ]\right),}$ (3)

где

${\displaystyle M_{t}[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mid y\mid =1}\varphi (x+ty)\,ds_{y}}$

– среднее значение функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ по поверхности сферы ${\displaystyle \mid y-x\mid =t}$,

${\displaystyle \varphi (x)=\left.u\right|_{t=0},\quad \psi (x)=\left.u_{t}\right|_{t=0}.}$ (4)

Если ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ – заданные в шаре ${\displaystyle \mid x\mid \leqslant R}$ функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a ${\displaystyle f(x,t)}$ дважды непрерывно дифференцируема при ${\displaystyle \mid x\mid <R}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant R-\mid x\mid }$, то функция ${\displaystyle u(x,t)}$, заданная формулой (3), является регулярным решением задачи Коши (4) для уравнения (2) при ${\displaystyle \mid x\mid <R}$ и ${\displaystyle t<R-\mid x\mid }$.

Формула (3) также называется формулой Кирхгофа.

Формула Кирхгофа в виде

${\displaystyle u(x,t)=tM_{t}[\psi ]+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{t}[\varphi ]\right)}$

для волнового уравнения

${\displaystyle \Delta u=u_{tt}}$ (5)

примечательна тем, что из неё следует принцип Гюйгенса: решение (волна) ${\displaystyle u(x,t)}$ уравнения (5) в точке ${\displaystyle (x,t)}$ пространства независимых переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},t}$ вполне определяется значениями ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \partial \varphi /\partial n}$ и ${\displaystyle \psi }$ на сфере ${\displaystyle \mid y-x\mid =t}$ с центром в точке ${\displaystyle x}$ и радиуса ${\displaystyle \mid t\mid }$.

Пусть дано уравнение нормального гиперболического типа

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m+1}a^{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{j=1}^{m+1}b^{j}(x)u_{x_{j}}+c(x)u=f(x)}$ (6)

с достаточно гладкими в некоторой ${\displaystyle (m+1)}$-мерной области ${\displaystyle \Omega _{m+1}}$ коэффициентами ${\displaystyle a^{ij}(x)}$, ${\displaystyle b^{f}(x)}$, ${\displaystyle c(x)}$ и правой частью ${\displaystyle f(x)}$, т. е. уравнение, форма

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m+1}a^{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}}$

которого в любой точке ${\displaystyle x\in \Omega _{m+1}}$ с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду

${\displaystyle y_{0}^{2}-\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{2}}$.

Формула Кирхгофа обобщена на уравнение (6) в случае, когда число ${\displaystyle m+1}$ независимых переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m+1}}$ чётно (Mathisson M. 1932). При этом существенным моментом было построение функции ${\displaystyle \varphi }$, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал ${\displaystyle 1/r}$. Для частного случая уравнения (6)

${\displaystyle u_{tt}-\sum _{i=1}^{m}u_{x_{i}x_{i}}=0,\quad m\equiv 1({\bmod {2}})}$ (7)

обобщённая формула Кирхгофа принимает вид

${\displaystyle u(y,t)=\gamma \int _{\sigma }\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k}\left\{{\frac {\partial {\overset {k-i+1}{\varphi }}}{\partial n}}\left[{\frac {\partial ^{i-1}u}{\partial t^{i-1}}}\right]-\right.}$
${\displaystyle \left.-{\overset {k-i+1}{\varphi }}\left[{\frac {\partial ^{i}u}{\partial n\partial t^{i-1}}}\right]-{\overset {k-i+1}{\varphi }}{\frac {\partial r}{\partial n}}\left[{\frac {\partial ^{i}u}{\partial t^{i}}}\right]\right\}\,d\sigma _{x},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ – некоторое положительное число, ${\displaystyle \sigma }$ – кусочно гладкая граница ${\displaystyle m}$-мерной ограниченной области ${\displaystyle \Omega _{m}}$, содержащей внутри себя точку ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle n}$ – внешняя нормаль к ${\displaystyle \sigma }$;

${\displaystyle {\overset {i}{\varphi }}=\gamma _{i}r^{-k-i+1},\quad {\overset {k}{\varphi }}=r^{2-m},\quad r=\mid y-x\mid ;}$
${\displaystyle \gamma _{i}=\mathrm {const} ,\quad i=1,\ldots ,k-1;\quad k=(m-1)/2;}$

${\displaystyle [\psi ]}$ означает запаздывающее значение ${\displaystyle \psi (x,t)}$:

${\displaystyle [\psi (x,t)]=\psi (x,t-r)}$.

Формулу (8) для уравнения (6) иногда называют формулой Кирхгофа – Соболева.