Формула Д'Аламбера

Фо́рмула Д'Аламбе́ра, формула, выражающая решение задачи Коши для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Пусть заданные функции ${\displaystyle \varphi (x)}$, ${\displaystyle \psi (x)}$ принадлежат соответственно пространствам ${\displaystyle C^{2}(-\infty ,-\infty )}$ и ${\displaystyle C^{1}(-\infty ,+\infty )}$, a ${\displaystyle f(t,x)}$ непрерывна вместе с первой производной по ${\displaystyle x}$ в полуплоскости ${\displaystyle \left\{t\geqslant 0,\,-\infty <x<+\infty \right\}}$. Тогда классическое решение ${\displaystyle u(t,x)}$ в ${\displaystyle \left\{t>0,\,-\infty <x<\infty \right\}}$ задачи Коши

${\displaystyle amp;{\frac {\partial ^{2}u(t,x)}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u(t,x)}{\partial x^{2}}}=f(t,x),}$
${\displaystyle amp;\left.u(t,x)\right|_{t=0}=\varphi (x),\quad \left.{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\right|_{t=0}=\psi (x),}$

выражается формулой Д'Аламбера:

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2a}}\int _{0}^{t}\int _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(\tau ,\xi )\,d\xi \,d\tau +{}}$
${\displaystyle \qquad {}+{\frac {1}{2a}}\int _{x-at}^{x+at}\psi (\xi )\,d\xi +{\frac {1}{2}}[\varphi (x+at)+\varphi (x-at)].}$

Если функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ заданы и удовлетворяют указанным условиям гладкости на интервале ${\displaystyle \left\{\left|x-x_{0}\right|<aT\right\}}$, a ${\displaystyle f(t,x)}$ – в треугольнике

${\displaystyle Q_{x_{0}}^{T}=\left\{\left|x-x_{0}\right|<a(T-t),\quad t\geqslant 0\right\}}$,

то формула Д'Аламбера даёт единственное решение задачи (1), (2) в ${\displaystyle Q_{x_{0}}^{T}}$. Требования на заданные функции могут быть ослаблены, если интересоваться решениями в некотором обобщённом смысле. Например, из формулы Д'Аламбера следует, что при ${\displaystyle f}$, интегрируемой по любому треугольнику ${\displaystyle Q_{x_{0}}^{T}}$, локально интегрируемой ${\displaystyle \psi }$ и непрерывной ${\displaystyle \varphi }$ можно определить слабое решение задачи Коши (1), (2) как равномерный (в любом ${\displaystyle Q_{x_{0}}^{T}}$) предел классических решений (с гладкими данными), и оно также выражается формулой Д'Аламбера.

Формула названа по имени Ж. Л. Д'Аламбера (J. D'Alembert, 1747).