Автономные скобки

Автоно́мные ско́бки, один из основных инструментов записи операторных выражений в некоммутативном анализе (наряду с фейнмановскими номерами). Это скобки вида ${\displaystyle [\![\ ]\!]}$, которые применяются для обозначения границ областей действия фейнмановских номеров. Подвыражения в автономных скобках вычисляются до объемлющих выражений и используются в последующих вычислениях как единые операторы; фейнмановские номера в таком подвыражении действительны только в пределах ограничивающих их автономных скобок.

Например,

${\displaystyle {\bigl (}{\stackrel {1}{A}}+{\stackrel {2}{C}}{\bigr )}^{2}=A^{2}+2CA+C^{2}}$,

но

${\displaystyle [\![{\stackrel {1}{A}}+{\stackrel {2}{C}}]\!]^{2}=(A+C)^{2}=A^{2}+AC+CA+C^{2}}$;

далее

${\displaystyle e^{B}e^{A}=e^{{\stackrel {1}{A}}+{\stackrel {2}{B}}}\neq e^{[\![{\stackrel {1}{A}}+{\stackrel {2}{B}}]\!]}=e^{A+B},\quad {\text{ если }}\quad [A,B]\neq 0}$.

Автономные скобки могут сами иметь фейнмановский номер, который ставится над левой скобкой. Он присваивается оператору, полученному в результате вычисления выражения в скобках. Так,

${\displaystyle {\bigl (}{\stackrel {1}{[\![}}{\stackrel {1}{A}}{\stackrel {3}{B}}]\!]+{\stackrel {2}{C}}{\bigr )}^{2}=BABA+C^{2}+2CBA}$,

тогда как

${\displaystyle {\bigl (}{\stackrel {1}{A}}{\stackrel {3}{B}}+{\stackrel {2}{C}}{\bigr )}^{2}=B^{2}A^{2}+C^{2}+2BCA}$.

Если фейнмановские номера используются только в некоторых частях операторного выражения, то рекомендуется заключать эти части в автономные скобки, чтобы избежать недоразумений; например, вместо

${\displaystyle Ce^{{\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}}}\quad {\bigl (}e^{{\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}}}{\text{ умножено на }}C{\text{ слева }}{\bigr )}}$

лучше написать ${\displaystyle {{\overset {3}{C}}e^{{\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}}}}}$ или ${\displaystyle C[\![{e^{{\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}}}}]\!]}$.

Часто автономные скобки оказываются полезными, даже если индексов Фейнмана в выражении нет вообще или, по крайней мере, внутри скобок, как в правой части формулы

${\displaystyle e^{-iS(x)}{\biggl [}\!\!{\biggl [}H{\biggl (}{\stackrel {2}{x}},-i{\stackrel {1}{\frac {\partial }{\partial x}}}{\biggl )}{\biggr ]}\!\!{\biggr ]}e^{iS(x)}=H{\biggl (}{\stackrel {2}{x}},{\stackrel {1}{{\biggl [}\!\!{\biggl [}}}{\frac {\partial S}{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial x}}{\biggr ]}\!\!{\biggr ]}{\biggr )}}$;

при этом справа можно также написать

${\displaystyle H{\biggl (}{\stackrel {2}{x}},{\stackrel {1}{\overline {{\frac {\partial S}{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial x}}}}}{\biggr )}}$.