Условия Инады

Усло́вия Ина́ды (англ. Inada conditions), предположения, которые обычно применяются к виду производственной функции, обеспечивающие в неоклассических моделях экономического роста наличие траектории сбалансированного роста.

Впервые условия Инады были явно сформулированы в 1963 г. в работе Удзавы Хирофуми на основании труда другого японского экономиста – Инады Кэнъити, в честь которого и были названы. Данные условия применяются в таких моделях экономического роста, как модель Солоу, модель Рамсея, модель пересекающихся поколений и др. Использование условий Инады в этих моделях гарантирует существование равновесия (траектории сбалансированного роста).

В широком смысле условиями Инады называют следующие свойства функции, которые были перечислены в статье Удзавы Хирофуми (Uzawa. 1963):

1. ${\displaystyle f(x)=0}$, при ${\displaystyle x=0}$;
2. ${\displaystyle f(x)\in C^{2}(\mathbb {R} _{+})}$; функция является гладкой порядка 2 (т. е. функция является дважды дифференцируемой, при этом её 2-я производная непрерывна), а её значения находятся в множестве положительных действительных чисел;
3. ${\displaystyle f(x)}$ строго монотонно возрастает по своим параметрам: ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {f}}(\operatorname {ch} i)}{\partial \operatorname {ch} i_{\mathcal {i}}}}>0,x_{i}\in \mathbb {R_{+}} }$;
4. ${\displaystyle f(x)}$ является строго вогнутой функцией: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbb {f} (\operatorname {ch} i)}{\partial {\mathcal {\operatorname {ch} i}}_{\mathcal {i}}^{2}}}<0,x_{i}\in \mathbb {R} _{+}}$;
5. ${\displaystyle \lim _{\operatorname {ch} i_{\mathcal {i}}\rightarrow 0}{\frac {\partial {\mathcal {f}}(\operatorname {ch} i)}{\partial \operatorname {ch} i_{\mathcal {i}}}}=+\infty }$; если запас фактора производства бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика;
6. ${\displaystyle \lim _{\operatorname {ch} i_{\mathcal {i}}\rightarrow +\infty }{\frac {\partial {\mathcal {f}}(\operatorname {ch} i)}{\partial \operatorname {ch} i_{\mathcal {i}}}}=0}$; если запас фактора производства бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала.

В узком смысле условиями Инады называются последние два свойства применительно к производственной функции ${\displaystyle F}$, которые используются в качестве предпосылок в неоклассических моделях экономического роста. Соответствие производственной функции данным условиям гарантирует устойчивость траектории экономического роста в экономике.

Формально выполнение данных условий означает, что если запас одного из факторов производства бесконечно мал в экономике, то его предельная производительность бесконечно велика. Если же запас фактора производства бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала. Данные свойства предполагают также, что каждый фактор необходим для производства: ${\displaystyle F(K,0)=F(0,L)=0}$ – и выпуск неограниченно растёт при неограниченном росте каждого фактора.

Говорят, что производственная функция удовлетворяет условиям Инады, если:

${\displaystyle \lim _{K\rightarrow 0}(F_{K})=\lim _{L\rightarrow 0}(F_{L})=\infty }$

${\displaystyle \lim _{K\rightarrow \infty }(F_{K})=\lim _{L\rightarrow \infty }(F_{L})=0}$

где ${\displaystyle F(K,L)}$ – производственная функция, ${\displaystyle K,L}$ – запасы капитала и труда в экономике, ${\displaystyle F_{K}}$, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.primary22.local:7231/bigenc.ru/v1/»:): {\displaystyle F _𝐿} – предельные производительности капитала и труда соответственно.

Как было показано в исследованиях (Barelli. 2003; Litina. 2008), класс производственных функций с эластичностью замещения, асимптотически равной единице, удовлетворяет условиям Инады.