Скобки Пуассона

Ско́бки Пуассо́на, дифференциальное выражение

${\displaystyle (u,v)=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right),}$ (1)

зависящее от двух функций ${\displaystyle u(q,p)}$ и ${\displaystyle v(q,p)}$ ${\displaystyle 2n}$ переменных ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$, ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$. Введены С. Пуассоном (Poisson. 1809). Скобки Пуассона – частный случай скобок Якоби. Скобки Пуассона есть билинейная форма от функций ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, причём

${\displaystyle (u,v)=-(v,u),}$

и имеет место тождество Якоби (Jacobi. 1862^[1])

${\displaystyle (u,(v,w))+(v,(w,u))+(w,(u,v))=0}$.

Скобки Пуассона применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка и являются удобным математическим аппаратом в аналитической механике (Уиттекер. 1937^[2]; Лурье. 1961^[3]; Голдстейн. 1975^[4]). Например, если ${\displaystyle q,p}$ – канонические переменные и дано преобразование

${\displaystyle Q=Q(q,p),\quad P=P(q,p),}$ (2)

где ${\displaystyle Q=\left(Q_{1},\ldots ,Q_{n}\right)}$, ${\displaystyle P=\left(P_{1},\ldots ,P_{n}\right)}$ и ${\displaystyle (n\times n)}$-матрицы

${\displaystyle (P,P),\,\,(Q,Q),\,\,(Q,P)}$ (3)

составлены из элементов ${\displaystyle \left(P_{i},P_{j}\right)}$, ${\displaystyle \left(Q_{i},Q_{j}\right)}$, ${\displaystyle \left(Q_{i},P_{j}\right)}$ соответственно, то (2) является каноническим преобразованием тогда и только тогда, когда первые две матрицы в (3) нулевые, а третья – единичная.

Скобки Пуассона, вычисленные для случая, когда в (1) ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ замещены какой-либо парой координатных функций от ${\displaystyle q,p}$, называются фундаментальными скобками.