Унитарное пространство

Унита́рное простра́нство, векторное пространство над полем комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, в котором задано скалярное умножение векторов [причём произведение ${\displaystyle (a,b)}$ векторов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ предполагается, вообще говоря, комплексным числом] и выполняются следующие аксиомы:

1) ${\displaystyle (a,b)={\overline {(b,a)}}}$;

2) ${\displaystyle (\alpha a,b)=\alpha (a,b)}$;

3) ${\displaystyle (a+b,c)=(a,c)+(b,c)}$;

4) если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle (a,a)>0}$,

т. е. скалярный квадрат ненулевого вектора есть положительное действительное число.

Унитарное пространство не предполагается конечномерным. В унитарном пространстве, точно так же как и в евклидовых пространствах, вводятся понятия ортогональности и ортонормированной системы векторов, а в конечномерном случае доказывается существование ортонормированного базиса.