Ортонормированная система

Ортонорми́рованная систе́ма, 1) ортонормированная система векторов, множество ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением ${\displaystyle (\cdot \,,\cdot \,)}$ такое, что ${\displaystyle (x_{\alpha },x_{\beta })=0}$ при ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$ (ортогональность) и ${\displaystyle (x_{\alpha },x_{\alpha })=1}$ (нормируемость).

2) Ортонормированная система функций, система ${\displaystyle \left\{\varphi _{i}(x)\right\}}$ функций пространства ${\displaystyle L^{2}(X,S,\mu )}$, являющаяся одновременно ортогональной и нормированной в ${\displaystyle L^{2}(X,S,\mu )}$, т. е.

${\displaystyle \int _{X}\varphi _{i}(x){\overline {\varphi }}_{j}(x)\,d\mu =\left\{{\begin{aligned}&0\ {\text{при}}\ i\neq j,\\&1\ {\text{при}}\ 1=j.\end{aligned}}\right.}$

В математической литературе часто термин «ортогональная система» означает «ортонормированная система». При исследовании данной ортогональной системы её нормированность не играет существенной роли. Тем не менее нормированность систем даёт возможность более ясной формулировки некоторых теорем о сходимости рядов

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(x)}$

в терминах поведения коэффициентов ${\displaystyle \left\{c_{k}\right\}}$. Такой теоремой является, например, теорема Рисса – Фишера: ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(x)}$

по ортонормированной в ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ системе ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ сходится в метрике пространства ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid c_{k}\mid ^{2}<\infty }$.