Точка перегиба

То́чка переги́ба, точка ${\displaystyle M}$ плоской кривой, обладающая следующими свойствами: в точке ${\displaystyle M}$ кривая имеет единственную касательную; в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle M}$ кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью в точке ${\displaystyle M}$. Примером точки перегиба является точка ${\displaystyle (0,0)}$ кривой ${\displaystyle y=x^{3}}$.

Пусть кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x)}$, где функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет непрерывную 2-ю производную ${\displaystyle f''(x)}$. Если точка ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ является точкой перегиба, то ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ (отсюда следует, что в точке перегиба кривизна линии равна нулю); обратное утверждение неверно. Например, последнее равенство выполняется для кривой ${\displaystyle y=x^{4}}$ в точке ${\displaystyle (0,0)}$, хотя эта точка не является точкой перегиба. Полное исследование вопроса о том, является ли данная точка кривой точкой перегиба, требует привлечения производных более высоких порядков (если они существуют) или других дополнительных рассмотрений.