Теорема Титце – Урысона

Теоре́ма Ти́тце – Урысо́на (теорема Титце о продолжении, теорема Брауэра – Титце – Урысона), теорема о продолжении непрерывной функции, определённой на замкнутом подмножестве нормального топологического пространства. Она утверждает, что любая непрерывная вещественнозначная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства ${\displaystyle X}$, непрерывно продолжается на всё пространство ${\displaystyle X}$.

Более подробно, для каждой непрерывной функции ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ (здесь ${\displaystyle \mathbb {R} }$ обозначает вещественную прямую), где ${\displaystyle A}$ – замкнутое подмножество нормального топологического пространства ${\displaystyle X}$, существует непрерывная функция ${\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} }$, являющаяся продолжением функции ${\displaystyle f}$, т. е. такая, что ${\displaystyle F(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$. Кроме того, если функция ${\displaystyle f}$ принимает значения в некотором отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ вещественной прямой (т. е. ограничена снизу и сверху числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно), то и продолжающую функцию ${\displaystyle F}$ можно выбрать так, чтобы она принимала значения в этом же отрезке.

Теорема Титце – Урысона обобщает лемму Урысона, поскольку последнюю можно рассматривать как утверждение о существовании продолжения непрерывной функции ${\displaystyle f}$ в специальном случае, когда ${\displaystyle f}$ определена на замкнутом подмножестве ${\displaystyle A\cup B}$ нормального пространства ${\displaystyle X}$ (где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – непересекающиеся замкнутые в ${\displaystyle X}$ множества) следующим образом: ${\displaystyle f(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x\in B}$. Вместе с тем стандартное доказательство теоремы Титце – Урысона основывается на лемме Урысона.

Подмножество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется С-вложенным в ${\displaystyle X}$, если любая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ продолжается на ${\displaystyle X}$, и C'^* -вложенным в ${\displaystyle X}$, если любая непрерывная ограниченная функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ продолжается на ${\displaystyle X}$. Теорема Титце – Урысона утверждает, что любое замкнутое подмножество нормального пространства C-вложено и C'^* -вложено в него (более того, каждое из этих условий эквивалентно нормальности пространства ${\displaystyle X}$). Имеет место следующая теорема Урысона, устанавливающая критерий C'^* -вложенности: множество ${\displaystyle A}$ является C'^* -вложенным в пространство ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда любые два функционально отделимые в ${\displaystyle A}$ множества функционально отделимы в ${\displaystyle X}$. Теорема Титце – Урысона может быть выведена из указанной теоремы Урысона.

Утверждение о возможности продолжения непрерывных функций с замкнутых подмножеств плоскости было отмечено А. Лебегом (1907), затем обобщено Л. Брауэром (1911) на евклидовы пространства произвольной размерности и Г. Титце (1915) – на метрические пространства и, наконец, в полной общности доказано для нормальных пространств П. С. Урысоном (^[1]; рус. пер. Урысон. ^[2]).