Теорема Ляпунова в теории вероятностей

Теоре́ма Ляпуно́ва в тео́рии вероя́тностей, теорема, устанавливающая весьма общие достаточные условия для сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k},\ldots }$ имеют конечные математические ожидания ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{k}}$, дисперсии ${\displaystyle {\mathsf {D}}X_{k}}$ и абсолютные моменты ${\displaystyle {\mathsf {E}}\mid X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k}\mid ^{2+\delta }}$, ${\displaystyle \delta >0}$, и пусть ${\displaystyle B_{n}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\mathsf {D}}X_{k}}$ – дисперсия суммы ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$. Тогда если при некотором ${\displaystyle \delta >0}$ выполнено условие

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}{\mathsf {E}}\mid X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k}\mid ^{2+\delta }}{B_{n}^{1+\delta /2}}}=0}$ (1),

то вероятность неравенства

${\displaystyle x_{1}<{\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\mathsf {E}}X_{k})}{\sqrt {B_{n}}}}<x_{2}}$ (2)

стремится при ${\displaystyle n\to \infty }$ к пределу

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}e^{-x^{2}/2}\,dx}$ (3)

равномерно относительно всех значений ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$. Условие (1) называется условием Ляпунова. Теорема Ляпунова была сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым (1901) и явилась завершающим этапом исследований П. Л. Чебышёва, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова по проблеме об условиях приложимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но и необходимыми. Окончательное решение вопроса в этом направлении было получено С. Н. Бернштейном, Дж. Линдебергом (J. Lindeberg) и У. Феллером. В теореме Ляпунова впервые была продемонстрирована сила метода характеристических функций.

А. М. Ляпуновым была также дана оценка сверху при ${\displaystyle \delta \leqslant 1}$ для абсолютной величины разности ${\displaystyle \Delta }$ между вероятностью неравенства (2) и её приближённым значением (3). Этой оценке можно придать следующий вид: при ${\displaystyle \delta <1}$

${\displaystyle \mid \Delta \mid \leqslant C_{1}L_{n,\delta }}$

и при ${\displaystyle \delta =1}$

${\displaystyle \mid \Delta \mid \leqslant C_{2}L_{n,1}\left|\log {\frac {1}{L_{n,1}}}\right|}$,

где ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ – абсолютные постоянные и ${\displaystyle L_{n,\delta }}$ – дробь (дробь Ляпунова), стоящая под знаком предела в (1). См. также Неравенство Бэрри – Эссеена.