Неравенство Берри – Эссеена

Нера́венство Бе́рри – Эссе́ена, неравенство, дающее оценку отклонения функции распределения суммы независимых случайных величин от нормальной функции распределения. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ – независимые, одинаково распределённые случайные величины такие, что

${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{j}=0,\quad {\mathsf {E}}X_{j}^{2}=\sigma ^{2}>0,\quad {\mathsf {E}}|X_{j}|^{3}<\infty }$.

Пусть

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathsf {E}}|X_{j}|^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

и

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt}$;

тогда для любого ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sup _{x}\left|{\mathsf {\text{Р}}}{\biggl \{}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\sum _{j=1}^{n}X_{j}\leqslant x{\biggr \}}-\Phi (x)\right|\leqslant A{\frac {\rho }{\sqrt {n}}},}$

где ${\displaystyle A}$ – абсолютная положительная постоянная. Этот результат был получен А. Берри (Berry. 1941^[1]) и независимо от него К.-Г. Эссееном (Esseen. 1942^[2]).