Поле направлений

По́ле направле́ний, совокупность точек плоскости ${\displaystyle xOy}$, в каждой из которых задано определённое направление, изображаемое обычно стрелкой, проходящей через данную точку. Если дано уравнение ${\displaystyle y'=f(x,y)}$, то в каждой точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ некоторой области плоскости ${\displaystyle xOy}$ известно значение углового коэффициента ${\displaystyle k=f(x_{0},y_{0})}$ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой. Т. о., это дифференциальное уравнение определяет поле направлений, и наоборот, поле направлений, заданное в некоторой области плоскости ${\displaystyle xOy}$, определяет дифференциальное уравнение вида ${\displaystyle y'=f(x,y)}$. Проводя достаточно густую сеть изоклин (линий одинакового наклона поля направлений ${\displaystyle f(x,y)=C}$, где ${\displaystyle C}$ – постоянная), можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля. На рис. изображено поле направлений уравнения ${\displaystyle y'=x^{2}+y^{2}}$; тонкие линии (окружности) – изоклины, жирные линии – интегральные кривые.