Схема серий

Схе́ма се́рий, общая модель, в рамках которой изучаются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Точнее, схемой серий называют множество случайных величин

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1,1},\\X_{2,1},X_{2,2},\\...\\X_{n,1},X_{n,2},...,X_{n,n},\\...\end{aligned}}}$ (*)

где в каждой серии ${\displaystyle X_{n,1},X_{n,2},...,X_{n,n},n=1,2,..}$., случайные величины взаимно независимы. Рассматриваются функции распределения

${\displaystyle F_{n}(x)={\mathsf {P}}\{X_{n,1}+X_{n,2}+...+X_{n,n}-A_{n}<x\},}$
${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\ \ n=1,2,...}$,

центрированных сумм случайных величин из каждой серии, где ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ – некоторая числовая последовательность, и ищется ответ на вопрос: какие функции распределения ${\displaystyle G(x)}$ могут быть предельными для последовательности ${\displaystyle \{F_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}$, а также каковы условия сходимости ${\displaystyle F_{n}(x)}$ к ${\displaystyle G(x)}$. В классической теории суммирования независимых случайных величин (возникновение этой теории связано с тем, что простой операции суммирования независимых случайных величин соответствует очень сложная операция свёртки функций распределения) на схему серий налагается ограничение

${\displaystyle \max _{1\leqslant j\leqslant n}{\mathsf {P}}\{\mid X_{n,j}\mid \geqslant \epsilon \}\rightarrow 0,}$
${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\,\ {\text{для}}\,{\text{любого}}\ \,\epsilon >0,}$ (**)

которое называется условием бесконечной малости (предельной пренебрегаемости) слагаемых. При выполнении этого условия вклад каждой случайной величины${\displaystyle X_{n,j}}$ из ${\displaystyle n}$-й серии в формирование функции распределения ${\displaystyle F_{n}(x)}$ пренебрежимо мал при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Иногда рассматриваются схемы серий, в которых число случайных величин в серии не совпадает с её номером, такие схемы серий сводятся к схеме серий (*). Впервые в общем виде схемы серий рассматривались С. Н. Бернштейном в 1922 г. До 1930-х гг. в теории вероятностей превалировала модель нарастающих (накопленных) сумм, в которой рассматривалась последовательность взаимно независимых случайных величин ${\displaystyle X_{1},X_{2},..}$., и исследовалась сходимость функций распределения нормированных и центрированных сумм

${\displaystyle S_{n}^{*}={\frac {X_{1}+...+X_{n}}{B_{n}}}-A_{n}}$,

где последовательность ${\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ положительных чисел такова, что ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}=\infty }$. Эта модель сводится к схеме серий (*) с помощью серий ${\displaystyle X_{n,j}=X_{j}/B_{n},j=1,...,n,n=1,2,..}$.. В то же время некоторые предельные теоремы, например, теорема Пуассона, могут быть корректно сформулированы только в рамках серий схемы.

В классической теории суммирования установлено, что предельными распределениями в схемах серий при выполнении условия (**) являются безгранично делимые распределения и только они. Построение классической теории суммирования завершено в основном в конце 1-й половины 20 в. работами А. Н. Колмогорова, П. Леви, А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко. В 1960-х гг. в исследованиях российского математика В. М. Золотарёва и его учеников была развита содержательная теория предельных теорем в неклассической постановке, т. е. для схем серий, для которых выполнение условия (**) не предполагается.