Теорема Пуассона

Теоре́ма Пуассо́на, одна из предельных теорем теории вероятностей, дающая предельное распределение числа наступлений некоторого маловероятного (редкого) события при большом числе независимых испытаний. Если, например, ${\displaystyle P_{n}(k)}$ вероятность того, что в схеме Бернулли, состоящей из ${\displaystyle n}$ опытов, некоторое событие ${\displaystyle A}$, имеющее вероятность ${\displaystyle p}$, наступило ${\displaystyle k}$ раз, то теорема Пуассона утверждает, что при больших значениях ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle 1/p}$ вероятности ${\displaystyle P_{n}(k)}$, ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$, близки к числам

${\displaystyle {\frac {(np)^{k}}{k!}}e^{-np}}$.

Величина ${\displaystyle np=\lambda }$ есть среднее значение числа наступления события ${\displaystyle A}$, а величины ${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$,${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,\lambda >0}$ составляют распределение Пуассона. Более удобна теорема Пуассона в форме неравенства для более общей схемы, чем схема Бернулли: если событие ${\displaystyle A}$ наступает в ${\displaystyle j}$-м опыте с вероятностью ${\displaystyle p_{j}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$, ${\displaystyle \lambda =p_{1}+\ldots +p_{n}}$, ${\displaystyle \delta =p_{1}^{2}+\ldots +p_{n}^{2}}$, то при ${\displaystyle n\geqslant 2}$ и всех ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \left|P_{n}(k)-{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\right|\leqslant 2\delta }$.

Это неравенство оценивает ошибку при замене ${\displaystyle P_{n}(k)}$ величиной ${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$. Если, например, ${\displaystyle p_{1}=\ldots =p_{n}=\lambda /n}$, то ${\displaystyle \delta =\lambda ^{2}/n}$ и ошибка уменьшается с ростом ${\displaystyle n}$. Ныне в теореме Пуассона обычно используется схема серий. Одна из форм теоремы Пуассона имеет следующий вид. Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1,1},\\X_{2,1},X_{2,2},\\\ \ldots \\\ X_{n,1},X_{n,2},\ldots ,X_{n,n}\end{aligned}}}$

– схема серий, состоящая из случайных величин ${\displaystyle X_{n,j}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ (первый индекс – номер серии, второй – номер величины в серии), случайные величины в каждой серии независимы, одинаково распределены и ${\displaystyle {\mathsf {P}}{\it {\{X_{n,j}=0\}=1-p_{n}}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {P}}{\it {\{X_{n,j}=1\}=p_{n}}}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$. Если ${\displaystyle np_{n}\rightarrow \lambda }$, ${\displaystyle \lambda >0}$, при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, то

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\it {\{X_{n,1}+...+P_{n,n}=k\}\rightarrow {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },\quad k=0,1,2,\ldots }}}$.

Теорема Пуассона установлена С. Пуассоном в 1837 г.

Теоремой Пуассона называется также одна из форм закона больших чисел.