Спектральный радиус

Спектра́льный ра́диус элемента банаховой алгебры, радиус ${\displaystyle \rho }$ наименьшего круга на плоскости, содержащего спектр этого элемента. Спектральный радиус элемента ${\displaystyle a}$ связан с нормами его степеней формулой

${\displaystyle \rho (a)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|a^{n}\right\|^{1/n}=\inf \left\|a^{n}\right\|^{1/n}}$,

из которой следует, в частности, что ${\displaystyle \rho (a)\leqslant \|a\|}$. Спектральный радиус ограниченного оператора в банаховом пространстве – это его спектральный радиус как элемента банаховой алгебры всех операторов. В гильбертовом пространстве спектральный радиус оператора равен точной нижней грани норм подобных ему операторов (^[1]):

${\displaystyle \rho (A)=\inf _{X}\left\|XAX^{-1}\right\|}$.

Если оператор нормален, то ${\displaystyle \rho (A)=\|A\|}$.

Спектральный радиус – полунепрерывная сверху (но, вообще говоря, не непрерывная) функция элемента банаховой алгебры. Доказана (Vesentini. 1968) субгармоничность спектрального радиуса [это означает, что если ${\displaystyle z\rightarrow h(z)}$ – голоморфное отображение некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ в банахову алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, то ${\displaystyle z\rightarrow \rho (h(z))}$ – субгармоническая функция].