Спектральные гомологии

Спектра́льные гомоло́гии, обратный предел

${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}(X;G)={\underset {\longleftarrow }{\rm {lim}}}\,H_{n}(\alpha ;G)\end{aligned}}}$

групп гомологий с коэффициентами в абелевой группе ${\displaystyle G}$ нервов открытых покрытий ${\displaystyle \alpha }$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ (они называются также гомологиями Чеха или Александрова – Чеха). Для замкнутого множества ${\displaystyle A\subset X}$ группы ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}(A;G)\end{aligned}}}$ могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем ${\displaystyle \alpha '\subset \alpha }$ всех тех множеств из ${\displaystyle \alpha }$, которые имеют непустое пересечение с ${\displaystyle A}$. Обратный предел групп пар ${\displaystyle H_{n}(\alpha ,\alpha ';G)}$ называется группой спектральных гомологий ${\displaystyle H_{n}(X,A;G)}$ пары ${\displaystyle (X,A)}$.

Поскольку функтор обратного предела не сохраняет точность, гомологическая последовательность пары ${\displaystyle (X,A)}$ в общем случае не точна. Она полуточна в том смысле, что композиция любых двух отображений равна нулю. Для компактных ${\displaystyle X}$ последовательность оказывается точной в случае, когда ${\displaystyle G}$ – компактная группа или поле (в более общей ситуации – когда группа ${\displaystyle G}$ алгебраически компактна). Cпектральные гомологии непрерывны в том смысле, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}({\underset {\longleftarrow }{\rm {lim}}}\,X_{\lambda };G)={\underset {\longleftarrow }{\rm {lim}}}\,\\v{H}_{n}(X_{\lambda },G)\end{aligned}}}$.

Отсутствие точности – не единственный недостаток спектральных гомологий. Группы ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}\end{aligned}}}$ оказываются неаддитивными в том смысле, что гомологии дискретного объединения ${\displaystyle X=\bigcup _{\lambda }X_{\lambda }}$ могут отличаться от прямой суммы ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\lambda }\\v{H}_{n}(X_{\lambda };G)\end{aligned}}}$. От этого недостатка свободны спектральные гомологии ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}^{C}(X;G)\end{aligned}}}$ с компактными носителями, определяемые как прямой предел ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\longrightarrow }{\rm {lim}}}\,\\v{H}_{n}(C;X)\end{aligned}}}$, взятый по всем компактным подмножествам ${\displaystyle C\subset X}$, Естественность функтора ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}^{C}\end{aligned}}}$ подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (симплициальные, клеточные, сингулярные) – это гомологии с компактными носителями.

Несовпадение функторов ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}^{C}\end{aligned}}}$ – один из примеров того, как гомологии реагируют на логические нюансы в их исходном определении (наоборот, когомологии проявляют в этом отношении значительную устойчивость). Среди логически возможных вариантов определения гомологий в общих категориях топологических пространств правильный был отобран не сразу, в связи с чем ассоциированная с когомологиями Александрова – Чеха теория гомологий ${\displaystyle H_{*}^{C}}$ стала распространяться лишь в 1960-х гг. (хотя первые определения были даны в 1940–1950-х гг.). Теория ${\displaystyle H_{*}^{C}}$ удовлетворяет всем аксиомам Стинрода – Эйленберга (и является теорией с компактными носителями). Для компактных ${\displaystyle X}$ имеет место точная последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}0\to {\underset {\longleftarrow }{\rm {lim}}}^{1}\,H_{n+1}(\alpha ;G)\to H_{n}(X,G)\to \\v{H}(X;G)\to 0\end{aligned}}}$

(${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\rm {lim}}}^{1}}$ – производный функтор обратного предела). В общем случае имеется эпиморфизм ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Н}}_{n}^{C}(X;G)\to \\v{H}_{n}^{C}(X;G)\end{aligned}}}$, который имеет нулевое ядро для любой алгебраически компактной группы ${\displaystyle G}$. Для любого гомологически локально связного (по отношению к ${\displaystyle H_{*}^{C}}$) локально компактного пространства функторы ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}\end{aligned}}}$, ${\displaystyle {\begin{aligned}\\v{H}_{n}^{C}\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle H_{n}^{C}}$ изоморфны.