Гомологии с компактными носителями

Гомоло́гии с компа́ктными носи́телями, теория частично точных гомологий, удовлетворяющая следующей аксиоме о компактных носителях: для каждого элемента ${\displaystyle h}$ из ${\displaystyle r}$-мерной группы ${\displaystyle H_{r}(X,A)}$ произвольной пары пространств ${\displaystyle (X,A)}$ в теории ${\displaystyle H}$ существует такая компактная пара ${\displaystyle (X',A')\subset (X,A)}$, что ${\displaystyle h}$ содержится в образе индуцированного вложением гомоморфизма

${\displaystyle \mu :H_{r}(X',A')\to H_{r}(X,A)}$.

Если теория ${\displaystyle H}$ точна и имеет компактные носители, то справедлива следующая теорема: для любого элемента ${\displaystyle h\in H_{r}(X',A')}$, принадлежащего ядру гомоморфизма ${\displaystyle \mu }$, существует такая компактная пара ${\displaystyle (X'',A'')}$, что

${\displaystyle (X',A')\subset (X'',A'')\subset (X,A)}$

и ${\displaystyle h}$ принадлежит ядру гомоморфизма

${\displaystyle H_{r}(X',A')\to H_{r}(X'',A'')}$.

Точная теория обладает компактными носителями тогда и только тогда, когда для любой пары ${\displaystyle (X,A)}$ группа ${\displaystyle H_{r}(X,A)}$ есть прямой предел ${\displaystyle {\underset {\longrightarrow }{\rm {lim}}}{\big \{}H_{r}(X',A'){\big \}},}$ где ${\displaystyle (X',A')}$ пробегает компактные пары, содержащиеся в ${\displaystyle (X,A)}$. Точная теория гомологий с компактными носителями единственна на категории произвольных (некомпактных) полиэдральных пар при данной группе коэффициентов, и она эквивалентна сингулярной теории. Наряду с группой ${\displaystyle H_{r}(X,A)}$ имеется группа

${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)={\underset {\longrightarrow }{\rm {lim}}}{\big \{}H_{r}(X',A'){\big \}},}$

где ${\displaystyle (X',A')}$ – компактные подпары из ${\displaystyle (X,A)}$. Сингулярная группа гомологий обладает компактными носителями и изоморфна группе ${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)}$. В спектральной теории, кроме групп ${\displaystyle H_{r}(X,A)}$ гомологий Александрова – Чеха и групп ${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)}$, рассматривается также группа, являющаяся образом при естественном гомоморфизме

${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)\to H_{r}(X,A)}$;

эта группа, как и группа ${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)}$, удовлетворяет аксиоме о компактных носителях, но в спектральной теории группой гомологий с компактными носителями обычно называют именно группу ${\displaystyle H_{r}^{c}(X,A)}$. Указанные 3 группы спектральной теории отличны друг от друга, и каждая из них является объектом теоремы двойственности как при дискретной, так и при компактной группе коэффициентов (см. в статье Двойственность в алгебраической топологии).