Совершенное поле

Соверше́нное по́ле, поле ${\displaystyle k}$, любой многочлен над которым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраическое расширение поля ${\displaystyle k}$ – сепарабельное расширение. Все остальные поля называются несовершенными. Все поля характеристики ${\displaystyle 0}$ совершенны. Поле ${\displaystyle k}$ конечной характеристики ${\displaystyle p}$ совершенно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k=k^{p}}$, т. е. возведение в степень ${\displaystyle p}$ является автоморфизмом поля ${\displaystyle k}$. Конечные поля и алгебраически замкнутые поля совершенны. Пример несовершенного поля – поле ${\displaystyle F_{q}(X)}$ рациональных функций над полем ${\displaystyle F_{q}}$, где ${\displaystyle F_{q}}$ – поле из ${\displaystyle q=p^{n}}$ элементов. Совершенное поле ${\displaystyle k}$ совпадает с полем инвариантов группы всех ${\displaystyle k}$-автоморфизмов алгебраического замыкания ${\displaystyle {\bar {k}}}$ поля ${\displaystyle k}$. Любое алгебраическое расширение совершенного поля снова совершенно.

Для произвольного поля ${\displaystyle k}$ характеристики ${\displaystyle p>0}$ с алгебраическим замыканием ${\displaystyle {\bar {k}}}$ поле

${\displaystyle k^{p-\infty }=\bigcup _{n}k^{p^{-n}}\subset {\bar {k}}}$

является наименьшим совершенным полем, содержащим ${\displaystyle k}$. Оно называется совершенным замыканием поля ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle {\bar {k}}}$.