Матрица Грама

Ма́трица Гра́ма, квадратная матрица

${\displaystyle G\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\right)=\left\|g_{\alpha \beta }\right\|}$,

составленная из попарных скалярных произведений ${\displaystyle g_{\alpha \beta }=\left(a_{\alpha },a_{\beta }\right)}$ элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Матрица Грама всегда неотрицательна. Она положительно определена, если ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ линейно независимы. Справедливо обратное: любая неотрицательная (положительно определённая) (${\displaystyle k\times k}$)-матрица есть некоторая матрица Грама (с линейно независимыми определяющими векторами).

Если ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$ суть ${\displaystyle n}$-мерные векторы (столбцы) ${\displaystyle n}$-мерного евклидова (эрмитова) пространства с обычным скалярным произведением

${\displaystyle (a,b)=\sum _{i=1}^{n}a^{i}b^{i}}$,

то

${\displaystyle G\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\right)={\bar {A}}^{T}A}$,

где ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle (n\times k)}$-матрица, составленная из столбцов ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}$, знак ${\displaystyle T}$ означает операцию транспонирования матриц, а черта сверху – взятие комплексно сопряжённой величины. См. также Определитель Грама.