Связность Вейля

Свя́зность Ве́йля, аффинная связность без кручения на римановом пространстве ${\displaystyle M}$, обобщающая связность Леви – Чивита в том смысле, что ковариантный дифференциал метрического тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ пространства ${\displaystyle M}$ относительно неё необязательно равен нулю, но является пропорциональным самому тензору ${\displaystyle g_{ij}}$. Если аффинная связность на ${\displaystyle M}$ задана с помощью матрицы локальных форм связности

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}\omega ^{i}=&\Gamma _{k}^{i}(x)dx^{k},\ \ \operatorname {det} |\Gamma _{k}^{i}|\neq 0\\\omega _{j}^{i}=&\Gamma _{jk}^{i}(x)\omega ^{k},\end{array}}\right\rbrace }$ (1)

и ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}\omega ^{i}\omega ^{j}}$ , то она является связностью Вейля тогда и только тогда, когда

${\displaystyle dg_{ij}=g_{kj}\omega _{i}^{k}+g_{ik}\omega _{j}^{k}+\theta g_{ij}.}$ (2)

Другая, эквивалентная форма этого условия:

${\displaystyle Z<X,Y>=<\nabla _{Z}X,Y>+<X,\nabla _{Z}Y>+\theta (Z)<X,Y>}$,

где ${\displaystyle \nabla _{Z}X}$ – ковариантная производная ${\displaystyle X}$ по ${\displaystyle Z}$ – определяется формулой

${\displaystyle \omega ^{i}(\nabla _{Z}X)=Z\omega ^{i}(X)+\omega _{k}^{i}(Z)\omega ^{k}(X)}$.

Относительно локального поля ортонормированных реперов, где ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$, имеет место

${\displaystyle \omega _{i}^{j}+\omega _{j}^{I}+\delta _{j}^{i}\theta =0}$,

т. е. связностью Вейля для некоторой римановой метрики на ${\displaystyle M}$ является каждая аффинная связность без кручения, группа голономии которой является группой подобий или некоторой её подгруппой.

Если в (1) ${\displaystyle \omega ^{i}=dx^{i}}$, то в случае связности Вейля

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left({\frac {\partial g_{lj}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}\right)+{\frac {1}{2}}g^{il}g_{jk}\theta _{l}-\delta _{(_{j}\theta _{k})}^{i}}$,

где ${\displaystyle \theta =\theta _{k}dx^{k}}$. Так как

${\displaystyle g_{kj}\Omega _{i}^{k}+g_{ik}\Omega _{j}^{k}+g_{ij}d\theta =0}$,

то тензор

${\displaystyle F_{ij,kl}=g_{im}R_{jkl}^{m}+{\frac {1}{2}}g_{ij}(\nabla _{k}\theta _{l}-\nabla _{l}\theta _{k})}$,

который называется (по Вейлю) тензором кривизны направлений, антисимметричен по обеим парам индексов:

${\displaystyle F_{ij,kl}+F_{ji,kl}=0}$.

Связность Вейля введена Г. Вейлем (Weyl. 1918).