Ковариантная производная

Ковариа́нтная произво́дная, обобщение понятия производной для полей различных геометрических объектов на многообразиях – векторов, тензоров, форм и т. д. Это – линейный оператор ${\displaystyle \nabla _{X}}$, действующий на модуле тензорных полей ${\displaystyle T_{s}^{r}}$ данной валентности и определяемый по векторному полю ${\displaystyle X}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ следующими свойствами:

1) ${\displaystyle \nabla _{fX+gY}U=f\nabla _{X}U+g\nabla _{Y}U}$,

2) ${\displaystyle \nabla _{X}(fU)=f\nabla _{X}U+(Xf)U}$,

где ${\displaystyle U\in T_{s}^{r}(\mathrm {M} ),f,g}$ – дифференцируемые функции на ${\displaystyle M}$. По линейности это отображение распространяется на алгебру тензорных полей, причём для тензорного произведения ${\displaystyle \otimes }$ тензоров ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \nabla _{X}(U\otimes V)=\nabla _{X}U\otimes V+U\otimes \nabla _{X}V}$.

Таким образом, отображение ${\displaystyle \nabla _{X}}$ является дифференцированием алгебры тензорных полей; оно обладает дополнительными свойствами перестановочности с операциями свёртки, альтернирования и симметрирования тензоров.

Свойства ${\displaystyle 1)}$ и ${\displaystyle 2)}$ отображения ${\displaystyle \nabla _{X}}$ позволяют ввести на ${\displaystyle M}$ линейную связность (и соответствующее параллельное перенесение) и на её основе дать локальное определение ковариантной производной, которая, будучи распространённой на всё многообразие, совпадает с определённым здесь оператором ${\displaystyle \nabla _{X}}$ (см. также Ковариантное дифференцирование).