Группа голономии

Гру́ппа голоно́мии, одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Группа голономии определяется для главного расслоенного многообразия ${\displaystyle P}$ со структурной группой Ли ${\displaystyle G}$ и базой ${\displaystyle B}$ (обладающей счётным базисом), в котором задана инфинитезимальная связность ${\displaystyle \Gamma }$. Одновременно она определяется для любого присоединённого к ${\displaystyle P}$ расслоенного многообразия ${\displaystyle E}$, слоями которого являются экземпляры некоторого пространства ${\displaystyle F}$ представления группы Ли ${\displaystyle G}$.

Связность ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle P}$ (соответственно в ${\displaystyle E}$) определяет для любой кусочно гладкой кривой ${\displaystyle L}$ базы ${\displaystyle B}$ изоморфное отображение ${\displaystyle \Gamma L}$ друг на друга слоёв, соответствующих началу и концу кривой ${\displaystyle L}$. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой ${\displaystyle L}$ базы ${\displaystyle B}$, начинающейся и оканчивающейся в точке ${\displaystyle x\in B}$, соответствует автоморфизм слоя ${\displaystyle G_{x}}$ (соответственно ${\displaystyle F_{x}}$) над точкой ${\displaystyle x}$. Множество этих автоморфизмов образует группу Ли ${\displaystyle \Phi _{x}}$, которая называется группой голономии связности ${\displaystyle \Gamma }$ в точке ${\displaystyle x}$.

Если база (линейно) связна, то ${\displaystyle \Phi _{x}}$ и ${\displaystyle \Phi _{x'}}$ изоморфны между собой для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x'}$ в B. Поэтому можно говорить о группе голономии ${\displaystyle \Phi }$ линейно связного многообразия ${\displaystyle P}$ (или ${\displaystyle E}$) со связностью ${\displaystyle \Gamma }$.

Группа голономии ${\displaystyle \Phi _{x}}$ является подгруппой структурной группы ${\displaystyle G}$. В случае линейной связности в ${\displaystyle P}$ эту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка ${\displaystyle p\in P}$ в слое ${\displaystyle G_{x}}$ над точкой ${\displaystyle x}$. Совокупность элементов ${\displaystyle g\in G}$ таких, что точки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle pg^{-1}}$ соединимы горизонтальными кривыми в ${\displaystyle P}$, образует подгруппу ${\displaystyle \Phi _{p}}$ группы ${\displaystyle G}$, изоморфную ${\displaystyle \Phi _{x}}$.

Ограниченной (суженной) группой голономии ${\displaystyle \Phi _{x}^{0}}$ называется подгруппа группы голономии ${\displaystyle \Phi _{x}}$, порождённая замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента группы голономии ${\displaystyle \Phi _{x}}$, при этом ${\displaystyle \Phi /\Phi ^{0}}$ не более чем счётно.

Роль групп голономии в дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в ${\displaystyle P}$.

Теорема о приведении связности. Пусть ${\displaystyle P(B,G)}$ – главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности; ${\displaystyle \Phi }$ – группа голономии заданной в ${\displaystyle P}$ связности ${\displaystyle \Gamma }$. Тогда структурная группа ${\displaystyle G}$ приводима к своей подгруппе ${\displaystyle \Phi }$, а связность ${\displaystyle \Gamma }$ приводима к связности в приведённом расслоении ${\displaystyle P'(B,\Phi )}$, группа голономии которого совпадает с ${\displaystyle \Phi }$.

Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной группы голономии) является подалгеброй алгебры ${\displaystyle G}$, порождённой всеми векторами ${\displaystyle \Omega _{y}(Y,Y')}$, где ${\displaystyle \Omega _{y}}$ – форма кривизны в точке ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle y}$ пробегает множество, каждая точка которого может быть соединена с исходной точкой ${\displaystyle y_{0}}$ горизонтальным путём, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Y'}$ – произвольные горизонтальные векторы.