Форма связности

Фо́рма свя́зности, линейная дифференциальная форма ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ на главном расслоенном пространстве ${\displaystyle P}$, которая принимает значения в алгебре ${\displaystyle g}$ структурной группы ${\displaystyle G}$ пространства ${\displaystyle P}$, определяется некоторой линейной связностью ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle P}$ и сама определяет эту связность однозначно. По связности ${\displaystyle \Gamma }$ значение формы связности ${\displaystyle \operatorname {th} eta_{y}(Y)}$, где ${\displaystyle y\in P}$, ${\displaystyle Y\in T_{y}(P)}$, определяется как тот элемент в ${\displaystyle g}$, который в действии ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle P}$ порождает вторую компоненту вектора ${\displaystyle Y}$ относительно разложения в прямую сумму ${\displaystyle T_{y}(P)=\Delta _{y}\oplus T_{y}\left(G_{y}\right)}$, где ${\displaystyle G_{y}}$ – слой, содержащий ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle \Delta }$ – горизонтальное распределение связности ${\displaystyle \Gamma }$. По форме связности ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ горизонтальное распределение ${\displaystyle \Delta }$, а тем самым и связность ${\displaystyle \Gamma }$, восстанавливается следующим образом.

Теорема Картана – Лаптева: чтобы некоторая форма ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ на ${\displaystyle P}$ со значениями в ${\displaystyle g}$ была формой связности, необходимо и достаточно следующее: 1) при ${\displaystyle Y\in T_{y}\left(G_{y}\right)}$ значением ${\displaystyle \operatorname {th} eta_{y}(Y)}$ является тот элемент в ${\displaystyle g}$, который в действии ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle P}$ порождает ${\displaystyle Y}$, 2) ${\displaystyle g}$-значная 2-форма

${\displaystyle \Omega =d\operatorname {th} eta+{\frac {1}{2}}[\operatorname {th} eta,\operatorname {th} eta]}$,

составленная из ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$, является полубазовой, или горизонтальной, т. е. ${\displaystyle \Omega _{y}\left(Y,Y^{\prime }\right)=0}$ , если хотя бы один из векторов ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Y^{\prime }}$ принадлежит ${\displaystyle T_{y}\left(G_{y}\right)}$. 2-форма ${\displaystyle \Omega }$ называется формой кривизны связности. Если в ${\displaystyle g}$ задан базис ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{r}\right\}}$, то условие 2) выражается локально в виде равенств:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\operatorname {th} eta^{\rho }+{\frac {1}{2}}C_{\sigma \tau }^{\rho }\operatorname {th} eta^{\sigma }\wedge \operatorname {th} eta^{\tau }={\frac {1}{2}}R_{ij}^{\rho }\omega ^{i}\wedge \omega ^{j}\\(\rho ,\sigma ,\tau =1,\ldots ,r;\,\,i,j=r+1,\ldots ,r+n=\operatorname {dim} P),\end{aligned}}}$ (*)

где ${\displaystyle \omega ^{1},\ldots ,\omega ^{n}}$ – некоторые линейно независимые полубазовые 1-формы. В такой форме необходимость условия 2) установил Э. Картан (Cartan. 1926); его достаточность при выполнении условия 1) доказал Г. Ф. Лаптев (Лаптев. 1953). Уравнения (*) на компоненты формы связности называются структурными уравнениями связности в ${\displaystyle P}$, в них ${\displaystyle R_{ij}^{\rho }}$ составляют объект кривизны.

Пусть ${\displaystyle P}$, в качестве примера, является пространством аффинных реперов в касательных пространствах ${\displaystyle n}$-мерного гладкого многообразия ${\displaystyle M}$. Тогда ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle g}$ являются соответственно группой и алгеброй Ли матриц вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\begin{matrix}1&a^{i}\\0&A_{j}^{i}\end{matrix}}\right\|,\quad \operatorname {det} \left|A_{j}^{i}\right|\neq 0\end{aligned}}}$,

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\begin{matrix}0&{\mathfrak {A}}^{i}\\0&{\mathfrak {A}}_{j}^{i}\end{matrix}}\right\|\quad (i,j=1,\ldots ,n)\end{aligned}}}$.

В силу теоремы Картана – Лаптева ${\displaystyle g}$-значная 1-форма

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {th} eta=\left\|{\begin{array}{cc}0&\omega ^{i}\\0&\omega _{j}^{i}\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$

на ${\displaystyle P}$ является формой связности некоторой аффинной связности на ${\displaystyle M}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega ^{i}+\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}&={\frac {1}{2}}T_{jk}^{i}\omega ^{j}\wedge \omega ^{k},\\d\omega _{j}^{i}+\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}={\frac {1}{2}}R_{jkl}^{i}\omega ^{k}\wedge \omega ^{l}.\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle T_{jk}^{i}}$ и ${\displaystyle R_{jkl}^{i}}$ составляют соответственно тензор кручения и тензор кривизны аффинной связности на ${\displaystyle M}$. Последние два уравнения на компоненты формы связности называются структурными уравнениями полученной на ${\displaystyle M}$ аффинной связности.