Решётчатое распределение

Решётчатое распределе́ние, обобщение понятия распределения целочисленной случайной величины. Говорят, что невырожденное распределение вероятностей является решётчатым, если оно сосредоточено на некоторой арифметической прогрессии ${\displaystyle D_{a,h}=\{a+kh:\,k=0,\pm 1,\pm 2,...\}}$, где ${\displaystyle a}$ – действительное, а ${\displaystyle h}$ – положительное (вырожденными называются распределения случайных величин, принимающих единственное численное значение). Это означает, что случайная величина ${\displaystyle X}$, имеющая решётчатое распределение может принимать только значения ${\displaystyle a+kh}$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,..}$., с вероятностями ${\displaystyle p_{k}={\mathsf {P}}{\it {\{X=a+kh\}\geqslant 0}}}$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,..}$.. Некоторые из этих вероятностей могут быть нулевыми, сумма положительных вероятностей равна единице. Арифметические прогрессии на действительной оси иногда называются решётками, отсюда название «решётчатое распределение». Число ${\displaystyle h}$ называется шагом решётки ${\displaystyle D_{a,h}}$. Т. к. для любого натурального ${\displaystyle m}$ справедливо включение ${\displaystyle D_{a,h}\subset D_{a,h/m}}$, то решётки с минимальным шагом, на которой сосредоточено решётчатое распределение, не существует, однако существует и единственная решётка с максимальным шагом, шаг этой решётки называется шагом решётчатого распределения. В случае ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle h=1}$ случайная величина ${\displaystyle X}$ является целочисленной.

Характеристическая функция решётчатого распределения с шагом ${\displaystyle h}$ есть

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{k}e^{it(a+kh)}=e^{ita}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{k}e^{itkh}}$,

откуда следует, что функция ${\displaystyle \mid f(t)\mid }$ является периодической, с минимальным периодом ${\displaystyle 2\pi /h}$. Т. к. для любой характеристической функции ${\displaystyle f(0)=1}$, то для решётчатого распределения с шагом ${\displaystyle h}$ справедливы равенства ${\displaystyle \mid f(2\pi k/h)\mid =1,k=0,\pm 1,\pm 2,..}$.. Свойство ${\displaystyle \mid f(t)\mid =1}$ для некоторого ${\displaystyle t\neq 0}$ является характеристическим: таковы характеристические функции решётчатого распределения, и только они. Формула обращения для решётчатого распределения имеет вид

${\displaystyle p_{k}={\frac {h}{2\pi }}\int _{-\pi /h}^{\pi /h}e^{-it(a+kh)}f(t)dt,\ \ \ \ k=0,\pm 1,\pm 2,...}$.

Для случайных величин, имеющих решётчатое распределение справедлива локальная форма центральной предельной теоремы, которая проще всего формулируется для независимых, одинаково распределённых случайных величин ${\displaystyle X_{1}}$,${\displaystyle X_{2}}$,... с нулевым средним и единичной дисперсией (два последних условия не ограничивают общности). Если общее распределение этих случайных величин является решётчатым с шагом ${\displaystyle h}$, то

${\displaystyle {\ce {\max \left|{\frac {\sqrt {n}}{h}}p_{n}(x)-\phi (x)\right|->0\,\ \ \ {\text{при}}\ \ \,n->\infty }}}$,

где

${\displaystyle p_{n}(x)={\mathsf {P}}{\it {\left\{{\frac {X_{1}+...+X_{n}}{\sqrt {n}}}=x\right\}}}}$,

${\displaystyle \phi (x)=e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }}}$ – плотность стандартного нормального распределения и максимум берётся по всем точкам решётки ${\displaystyle \left\{a_{n}+k{\frac {h}{\sqrt {n}}}:\,k=0,\pm 1,\pm 2,...\right\}}$, ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}}$, на которой сосредоточено распределение нормированной суммы ${\displaystyle (X_{1}+...+X_{n})/{\sqrt {n}}}$.