Распределение Миннесоты

Распределе́ние Миннесо́ты (Прайор Литтермана, англ. Minnesota prior, Litterman prior), априорное распределение для байесовской модели векторной авторегрессии (BVAR). Является одним из наиболее часто используемых априорных распределений для BVAR-моделей в байесовской эконометрике. Распределение предложено в работах Т. Доана, Р. Литтермана, К. Симса (Doan. 1984^[1]) и Р. Литтермана (Litterman. 1986^[2]).

Суть использования данного распределения заключается в следующем. Рассматривается модель BVARX(${\displaystyle p}$):

${\displaystyle y_{t}=\sum _{i=1}^{p}A_{i}y_{t-i}+\Gamma z_{t}+\varepsilon _{t}}$,

где ${\displaystyle \rho }$ – число лагов, ${\displaystyle y_{t}}$ – вектор эндогенных переменных в период времени ${\displaystyle t}$, содержащий ${\displaystyle n}$ эндогенных переменных, ${\displaystyle A_{i}}$ – матрица коэффициентов при ${\displaystyle i}$-ом лаге эндогенных переменных, ${\displaystyle z_{t}}$ – вектор, включающий ${\displaystyle m}$ экзогенных переменных с учётом константы, ${\displaystyle \Gamma }$ – матрица коэффициентов экзогенных переменных, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – вектор ошибок в период времени ${\displaystyle t}$, имеющий многомерное нормальное распределение ${\displaystyle MN(0,\Sigma )}$.

В более компактной форме эта модель записывается с помощью следующего уравнения:

${\displaystyle Y=XA+\varepsilon }$,

где ${\displaystyle Y=(y_{1},y_{2},...,y_{T})',\ A=(A_{1},A_{2},...,A_{p},\Gamma )',\ \varepsilon =(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},...,\varepsilon _{T})'}$.

Матрица объясняющих переменных задаётся как:

${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{T})'}$,

где ${\displaystyle x_{t}=({y_{t-1}}',{y_{t-2}}',...,{y_{t-p}}',{z_{t}}')}$.

Предполагается, что рассматриваемые макроэкономические ряды являются независимыми, в том числе и от экзогенных переменных, и представляют собой некоторый AR(1)-процесс [в оригинальной работе Р. Литтермана («Forecasting with Bayesian vector autoregressions – five years of experience», 1986) предполагалось, что ряды представляют собой процесс случайного блуждания] с коэффициентом ${\displaystyle a_{1}}$ [в расширениях распределения Миннесоты AR(1)-коэффициенты также могут быть индивидуальными для рядов]. Это означает, что матрица коэффициентов ${\displaystyle A_{1}}$ – диагональная (диагональ заполнена используемым значением ${\displaystyle a_{1}}$), в то время как матрицы ${\displaystyle A_{2},...,A_{p},\ \Gamma }$ – нулевые. Структура априорной ковариационной матрицы коэффициентов ${\displaystyle \Omega }$ в модели формируется с помощью гиперпараметров и МНК-оценок остаточных дисперсий авторегрессий эндогенных переменных.

Тогда реализация распределения Миннесоты с выбранным гиперпараметром перед первым лагом ${\displaystyle a_{1}}$ в матричной записи имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1}\,\ldots \,0\\{\begin{array}{c}\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \\0\,\ldots \,\,a_{1}\end{array}}\end{array}}\right),\\A_{i}=\left({\begin{array}{c}0\,\ldots \,0\\{\begin{array}{c}\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \\0\,\ldots \,\,0\end{array}}\end{array}}\right),\,i={\overline {2,p}},\,\Gamma =\left({\begin{array}{c}0\,\ldots \,0\\{\begin{array}{c}\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \\0\,\ldots \,\,0\end{array}}\end{array}}\right),\\A=(A_{1},A_{2},...,A_{p},\Gamma )',\,{\widetilde {a}}=vec(A)\end{aligned}}}$.

Матрица ${\displaystyle \Omega }$ является диагональной, а её элементы формируются с помощью гиперпараметров отдельно для трёх случаев:

• Дисперсия собственных лагов эндогенной переменной: ${\displaystyle \sigma _{a_{ii,s}}^{2}=({\frac {\lambda _{1}}{s^{\lambda _{3}}}})^{2}}$, где ${\displaystyle \lambda _{1}}$ – гиперпараметр всеобщего стягивания, который корректирует величину дисперсии, ${\displaystyle \lambda _{3}}$ – гиперпараметр, который регулирует скорость снижения дисперсии по отношению к коэффициентам более поздних лагов переменной, ${\displaystyle s}$ – номер лага.
• Лаги других эндогенных переменных: ${\displaystyle \sigma _{a_{ij,s}}^{2}=({\frac {\sigma _{i}^{2}}{\sigma _{j}^{2}}})({\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{s^{\lambda _{3}}}})^{2}}$, где ${\displaystyle \lambda _{2}}$ – гиперпараметр кросс-переменной дисперсии, который регулирует дисперсию у параметров вне главной диагонали матриц ${\displaystyle A_{i},\ \sigma _{i}^{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}}$ – МНК-оценки остаточных дисперсий авторегрессий переменных ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ соответственно.
• Дисперсия при экзогенных переменных (включая константу): ${\displaystyle \sigma _{b_{i}}^{2}=\sigma _{i}^{2}(\lambda _{1}\lambda _{4})^{2}}$, где ${\displaystyle \lambda _{4}}$ – гиперпараметр, регулирующий вариацию коэффициентов при экзогенных переменных.

Выбор значения коэффициента ${\displaystyle a_{1}}$ и гиперпараметров можно произвести с помощью алгоритма поиска по сетке, который заключается в следующем. Задаются границы интервала, в котором, по предположению, располагается оптимальное значение гиперпараметра, а также величина шага, с которым перебираются значения данного гиперпараметра. Для каждой комбинации рассчитывается функция правдоподобия. Оптимальный набор значений гиперпараметров выбирается посредством сравнения полученных значений функций (Giannone. 2015^[3]). В качестве альтернативы можно использовать наиболее апробированные, общепринятые значения из эмпирической литературы. Например, в работе Ф. Кановы («Methods for applied macroeconomic research», 2011) предлагается следующий набор значений: ${\displaystyle \lambda _{1}=0.2,\ \lambda _{2}=0.5,\ \lambda _{3}=2}$. Значение ${\displaystyle \lambda _{4}}$ обычно варьируется от 100 до 10 тыс.

Тогда априорное распределение коэффициентов записывается следующим образом:

${\displaystyle \pi (a)\sim N({\widetilde {a}},\Omega )}$.

Преимущество распределения Миннесоты состоит в том, что апостериорное распределение параметров можно получить аналитически в виде теоретического многомерного нормального распределения. При этом ковариационная матрица остатков предполагается известной. Сформировать её можно тремя путями. Оценить AR(1)-процесс, получив дисперсии эндогенных переменных. Оценить стандартную VAR-модель с помощью обычного МНК можно при использовании только диагональных элементов ковариационной матрицы остатков или при её полном использовании. В первых двух случаях ковариационная матрица будет диагональной. Выбор способа зависит от априорных ожиданий относительно сохранения структуры и взаимосвязи остатков.

В соответствии с байесовской формулировкой:

${\displaystyle \pi (a,\Sigma \mid y)\propto f(y\mid a,\Sigma )\pi (a,\Sigma )}$,

где ${\displaystyle \pi (a,\Sigma )}$ – априорное распределение коэффициентов и ковариационной матрицы, ${\displaystyle f(y\mid a,\Sigma )}$– функция правдоподобия, ${\displaystyle \pi (a,\Sigma \mid y)}$ – апостериорное распределение коэффициентов и ковариационной матрицы. Тогда апостериорное распределение коэффициентов представляется в виде:

${\displaystyle \pi (a\mid y)\sim N({\overline {a}},{\overline {\Omega }})}$,

где

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {a}}={\overline {\Omega }}[\Omega ^{-1}{\widetilde {a}}+(\Sigma ^{-1}\otimes X')y],\\y=vec(Y),\,{\overline {\Omega }}=[\Omega ^{-1}+\Sigma ^{-1}X'X]^{-1}\end{aligned}}}$.

Предпосылка об известной ковариационной матрице остатков может восприниматься как изъян прайора Миннесоты, поскольку в действительности её фактическое значение не наблюдается. Для нивелирования данного недостатка могут быть использованы альтернативные априорные распределения с семплированием ковариационной матрицы остатков. Например, нормальное обратное распределение Уишарта (англ. normal-inverse-Wishart prior) или независимое нормальное обратное распределение Уишарта (англ. independent normal-inverse-Wishart prior).