Разрешимая группа Ли

Разреши́мая гру́ппа Ли, группа Ли, разрешимая как абстрактная группа. В дальнейшем рассматриваются вещественные или комплексные разрешимые группы Ли.

Нильпотентная, в частности абелева, группа Ли разрешима. Если ${\displaystyle F=\left\{V_{i}\right\}}$ – полный флаг в конечномерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ (над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), то

${\displaystyle B(F)=\left\{g\in \operatorname {GL} (V)\mid gV_{i}\subset V_{i},\,\forall i\right\}}$

является разрешимой алгебраической подгруппой в ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ и, в частности, разрешимой группой Ли. Если в ${\displaystyle V}$ выбрать базис, согласованный с флагом ${\displaystyle F}$, то в нём элементы группы ${\displaystyle {B}(F)}$ представятся невырожденными верхними треугольными матрицами; полученная матричная разрешимая группа Ли обозначается через ${\displaystyle T(n,K)}$, где ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ группы ${\displaystyle G}$ разрешима тогда и только тогда, когда разрешима связная компонента единицы ${\displaystyle (G)_{0}}$ группы ${\displaystyle G}$. Алгебрами Ли групп ${\displaystyle B(F)}$ и ${\displaystyle T(n,K)}$ являются соответственно ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(F)}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n,K)}$ (см. Разрешимая алгебра Ли). В силу соответствия между подалгебрами в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и связными подгруппами Ли в ${\displaystyle G}$ на разрешимые группы Ли переносятся все свойства разрешимой алгебры Ли (см. Бурбаки. 1976^[1]; Шевалле. 1958^[2]).

Для разрешимой группы Ли справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах Ли: если ${\displaystyle {\ce {\rho :G->\operatorname {GL} (V)}}}$ – конечномерное комплексное представление разрешимой группы Ли ${\displaystyle G}$, то существует полный флаг ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle V}$ такой, что ${\displaystyle \rho (G)\subset B(G)}$. В частности, в ${\displaystyle V}$ существует общий собственный вектор для всех ${\displaystyle \rho (g)}$, ${\displaystyle g\in G}$.

Разрешимые группы Ли были впервые рассмотрены C. Ли, предполагавшим, что непрерывные группы могут играть в теории интегрирования в квадратурах дифференциальных уравнений ту же роль, что группа Галуа в теории алгебраических уравнений. Однако, вообще говоря, группа автоморфизмов дифференциального уравнения тривиальна, и поэтому только для линейных и некоторых других уравнений в этом направлении получены содержательные результаты. Так, для этих уравнений выразимость решений через квадратуры и экспоненты от них фактически эквивалентна разрешимости соответствующей (матричной) группы Галуа (Капланский. 1959^[3]). Если же эта группа нильпотентна, то экспоненты от квадратур в решение не входят.

В силу теоремы Леви – Мальцева о разложении в полупрямое произведение произвольной связной односвязной группы Ли разрешимые группы Ли играют существенную роль при изучении произвольных групп Ли. В произвольной связной группе Ли ${\displaystyle G}$ рассматриваются также максимальные разрешимые подгруппы. Если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то они называются борелевскими и сопряжены в группе ${\displaystyle G}$. Например, ${\displaystyle B(F)}$ – борелевская подгруппа в ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$.

Односвязная разрешимая группа Ли всегда имеет точное конечномерное представление, для неодносвязных это не всегда так. В односвязной разрешимой группе Ли произвольная связная подгруппа замкнута и односвязна (Мальцев. 1976^[4]). Экспоненциальное отображение ${\displaystyle {\ce {\operatorname {exp} :{\mathfrak {g}}->G}}}$ даже для односвязной разрешимой группы Ли не обязано быть ни инъективным, ни сюръективным. Разрешимые группы Ли, для которых ${\displaystyle \exp }$ – диффеоморфизм, называются экспоненциальными. Односвязная разрешимая группа Ли диффеоморфна ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$, а произвольная связная разрешимая группа Ли – ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times T^{m}}$, где ${\displaystyle T^{m}}$ есть ${\displaystyle m}$-мерный тор.

Связная линейная разрешимая группа Ли над ${\displaystyle R}$ представляется в виде полупрямого произведения ${\displaystyle K\cdot S}$, где ${\displaystyle K}$ – компактная абелева подгруппа, a ${\displaystyle S}$ – односвязный нормальный делитель. Алгебраическая связная разрешимая группа над любым полем характеристики 0 разлагается в полупрямое произведение нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов, и абелевой подгруппы, состоящей из полупростых элементов (Шевалле. 1958). Для связных разрешимых групп Ли можно определить (Auslander. 1973^[5]) аналог расщепления Мальцева.

Если алгебра Ли связной группы Ли ${\displaystyle G}$ треугольна (над ${\displaystyle \mathbb {R} }$), то ${\displaystyle G}$ называется треугольной. Для треугольных групп Ли справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах. Максимальные связные треугольные подгруппы в произвольной связной группе Ли сопряжены (Винберг. 1961^[6]). Связная треугольная группа Ли изоморфна подгруппе в ${\displaystyle T(n,\mathbb {R} )}$ и является экспоненциальной группой, если она односвязна.