Разложение Ивасавы

Разложе́ние Иваса́вы, однозначное представление любого элемента ${\displaystyle g}$ некомпактной связной полупростой вещественной группы Ли ${\displaystyle G}$ в виде произведения ${\displaystyle g=kan}$ элементов ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle n}$ аналитических подгрупп ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle N}$ группы ${\displaystyle G}$ соответственно, где подгруппы ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle N}$ определяются следующим образом. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {B}}}$ – разложение Картана алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ группы ${\displaystyle G}$; пусть ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ – максимальное в ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ коммутативное подпространство пространства ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ – такая нильпотентная подалгебра Ли в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, что комплексификация алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ является линейной оболочкой корневых векторов некоторой системы положительных корней относительно комплексификации некоторой максимальной коммутативной подалгебры Ли в алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, содержащей ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Разложение алгебры Ли в прямую сумму подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ называется разложением Ивасавы (Iwasawa. 1949^[1]) полупростой вещественной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Группы ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle N}$ определяются как аналитические подгруппы группы ${\displaystyle G}$, отвечающие подалгебрам Ли ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ соответственно. Группы ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle N}$ замкнуты; группы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle N}$ односвязны; группа ${\displaystyle K}$ содержит центр группы ${\displaystyle G}$, и образ группы ${\displaystyle K}$ в присоединённом представлении группы ${\displaystyle G}$ является максимальной компактной подгруппой в присоединённой группе группы ${\displaystyle G}$. Отображение ${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$ является аналитическим диффеоморфизмом многообразия ${\displaystyle K\times A\times N}$ на группу Ли ${\displaystyle G}$. Разложение Ивасавы играет существенную роль в теории представлений полупростых групп Ли. Разложение Ивасавы может быть определено также для связной полупростой алгебраической группы над ${\displaystyle p}$-адическим полем (или, более общо, для группы ${\displaystyle p}$-адического типа) (см.Вruhat. 1964^[2], Iwahоri. 1965^[3]).