Разложение Картана

Разложе́ние Карта́на, представление действительной некомпактной полупростой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в виде прямой суммы векторных пространств. Пусть ${\displaystyle g^{\mathbb {C} }}$ – комплексная оболочка ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, тогда в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ существует действительная компактная подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{k}}$ той же размерности, что и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, такая, что имеют место следующие разложения в прямые суммы векторных пространств

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{k}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {p}},\quad {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {p}}}$,

где ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ – подалгебра инвариантных элементов некоторого инволютивного автоморфизма ${\displaystyle \varphi }$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{k}}$, а ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ – множество антиинвариантных элементов автоморфизма ${\displaystyle \varphi }$. Вторая формула и есть разложение Картана алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (Хелгасон. 2005^[1]). Разложение Картана сводит классификацию действительных некомпактных полупростых алгебр Ли к классификации компактных полупростых алгебр Ли и инволютивных автоморфизмов в них.