Интегральное преобразование Лежандра

Интегра́льное преобразова́ние Лежа́ндра, интегральное преобразование вида

${\displaystyle f(n)=T\{F(x)\}=\int _{-1}^{1}P_{n}(x)F(x)\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots }$,

где ${\displaystyle P_{n}(x)}$ – многочлен Лежандра порядка ${\displaystyle n}$. Формула обращения имеет вид

${\displaystyle T^{-1}\{f(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)P_{n}(x)f(n),\quad -1<x<1}$,

если ряд сходится. Интегральное преобразование Лежандра сводит дифференциальную операцию

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}}$

к алгебраической по формуле

${\displaystyle T\left\{{\frac {d}{dx}}(1-x^{2}){\frac {dF(x)}{dx}}\right\}=-n(n+1)f(n),\quad n=0,1,2,\ldots }$

Для преобразования Лежандра имеет место теорема о свёртке: если

${\displaystyle T\left\{F_{i}(x)\right\}=f_{i}(n),\quad i=1,2}$,

то

${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)=T\{h(x)\}}$,

где

${\displaystyle h(x)={\frac {1}{\pi }}\iint _{E(x)}f_{1}(\xi )f_{2}(\xi )(1-x^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}+2x\xi \eta )^{-1/2}\,d\xi \,d\eta }$,

${\displaystyle E(x)}$ – внутренность эллипса ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-2x\xi \eta =1-x^{2}}$. Интегральное преобразование Лежандра является частным случаем преобразования Якоби.