Преобразование Радона

Преобразова́ние Радо́на, интегральное преобразование функций от нескольких переменных, родственное преобразованию Фурье. Введено И. Радоном (J. Radon, 1917).

Пусть ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ – непрерывная и достаточно быстро убывающая на бесконечности функция от действительных переменных ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{1}}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n;n=1,2,\ldots }$

Для любой гиперплоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):\xi _{1}x_{1}+\ldots +\xi _{n}x_{n}=C\}}$
${\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} ^{1},\quad i=1,\ldots ,n,}$

и

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}>0,\quad C\in \mathbb {R} ^{1}}$,

определяется интеграл

${\displaystyle F(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n};C)={\frac {1}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}\right)^{1/2}}}\int \limits _{\Gamma }f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dV_{\Gamma }}$,

где ${\displaystyle V_{\Gamma }}$ – евклидовый ${\displaystyle (n-1)}$-мерный объем на гиперплоскости ${\displaystyle \Gamma }$. Функция

${\displaystyle F(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n};C),\quad (\xi _{1},\ldots ,\xi _{n},C)\in \mathbb {R} ^{n+1}}$

называется преобразованием Радона функции ${\displaystyle f}$. Она является однородной функцией своих переменных степени ${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle F(\alpha \xi _{1},\ldots ,\alpha \xi _{n};\alpha C)={\frac {1}{\mid \alpha \mid }}F(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n};C)}$

и связана с преобразованием Фурье ${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}$, ${\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} ^{1}}$, функции ${\displaystyle f}$ формулой

${\displaystyle F(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n};C)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\alpha \xi _{1},\ldots ,\alpha \xi _{n})e^{-i\alpha C}\,d\alpha }$.

С преобразованием Радона непосредственным образом связана задача, восходящая к И. Радону, о восстановлении функции ${\displaystyle f}$ по значениям ее интегралов, вычисленных по всем гиперплоскостям пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (т. е. задача об обращении преобразования Радона).