Преобразование Абеля

Преобразова́ние А́беля (суммирование по частям), преобразование вида:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}a_{k}b_{k}=a_{N}b_{N}-a_{1}B_{0}-\sum _{k=1}^{N-1}B_{k}\left(a_{k+1}-a_{k}\right),}$

где ${\displaystyle a_{k},b_{k}}$ заданы, ${\displaystyle B_{0}}$ выбирается произвольно, a ${\displaystyle B_{k}=B_{k-1}+b_{k}=B_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,\,N}$.

Преобразование Абеля есть дискретный аналог формулы интегрирования по частям.

Если ${\displaystyle a_{N}\rightarrow 0}$ и последовательность ${\displaystyle \left\{B_{k}\right\}}$ ограничена, то преобразование Абеля обобщается на ряды:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}-a_{k+1}\right)B_{k}-a_{1}B_{0}}$.

При помощи преобразования Абеля доказываются многие признаки сходимости числовых и функциональных рядов (см. Признак Абеля). Преобразования Абеля ряда часто приводит к ряду с той же суммой, но с лучшей сходимостью. Кроме того, преобразование Абеля постоянно используется в различных оценках (см. Неравенство Абеля), в частности при исследовании скорости сходимости ряда. Преобразование Абеля введено Н. Абелем (Abel. 1826^[1]).