Неравенство Абеля

Нера́венство А́беля об оценке суммы попарных произведений чисел: если заданы такие последовательности чисел ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{n}}$, что все суммы ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, ограничены по абсолютной величине числом ${\displaystyle B}$, т. е. ${\displaystyle |B_{k}|\leqslant B}$, и либо ${\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}}$, либо ${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \ldots \geqslant a_{n}}$, то

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|)}$.

В случае, когда ${\displaystyle a_{k}}$ не возрастают и неотрицательны, оценка упрощается:

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant Ba_{1}}$.

Неравенство Абеля доказывается с помощью преобразования Абеля.