Признак Абеля

При́знак А́беля, признак сходимости ряда, составленного из парных произведений.

Признак Абеля для числовых рядов: если сходится ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$,

а числа ${\displaystyle a_{n}}$ образуют монотонную ограниченную последовательность, то ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

сходится.

Признак Абеля для функциональных рядов: ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)b_{n}(x)}$

равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$, если ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(x)}$

равномерно сходится на ${\displaystyle X}$, а функции ${\displaystyle a_{n}(x),\ n=1,2,\ldots }$ при каждом ${\displaystyle x\in X}$ образуют монотонную последовательность, равномерно ограниченную на множестве ${\displaystyle X}$.

Аналогично формулируется признак Абеля равномерной сходимости интегралов

${\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\infty }a(n,x)b(n,x)\,dn}$,

зависящих от параметра ${\displaystyle x\in X}$.

Признаки Абеля могут быть усилены (см., например, Признак Дедекинда). См. также Признак Дирихле, Преобразование Абеля.