Потенциалы электромагнитного поля

Потенциа́лы электромагни́тного по́ля, физические величины, характеризующие электромагнитное поле. К потенциалам электромагнитного поля относятся векторный потенциал ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{(x,y,z,t)}}$ и скалярный потенциал ${\displaystyle {\phi (x,y,z,t)}}$, где ${\displaystyle {x}}$, ${\displaystyle {y}}$, ${\displaystyle {z}}$ – координаты, ${\displaystyle {t}}$ – время. Потенциалы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\phi }}$ используются для описания электромагнитного поля вместо вектора магнитной индукции ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ и вектора напряжённости электрического поля ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$. При этом ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ однозначно определяются через потенциалы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\phi }}$:

${\displaystyle B=rot{\boldsymbol {A}}}$,

${\displaystyle E=-grad{\phi }-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}$.

Важным свойством потенциалов электромагнитного поля является неоднозначность в их определении; т. е. если от потенциалов ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\phi }}$ перейти к новым потенциалам ${\displaystyle {\boldsymbol {A^{\prime }}}}$ и ${\displaystyle {\phi ^{\prime }}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{'}={\boldsymbol {A}}+gradf}$,

${\displaystyle {\phi }^{'}=\phi -{\frac {\partial f}{\partial t}}}$,

где ${\displaystyle {f}}$ – произвольная функция координат и времени, то значения полей ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ не изменятся. Это свойство потенциалов называется калибровочной (градиентной) инвариантностью. Неоднозначность выбора потенциалов ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\phi }}$ даёт возможность наложить на них дополнительные условия (калибровку), которые позволяют упростить уравнения для потенциалов электромагнитного поля. Часто используют калибровку Лоренца:

${\displaystyle div{\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{V^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$,

где ${\displaystyle {V}}$ – скорость распространения электромагнитных волн в данной среде. При использовании калибровки Лоренца уравнения для потенциалов электромагнитного поля принимают вид:

${\displaystyle \triangledown ^{2}{\boldsymbol {A}}-{\frac {1}{V^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {A}}}{t^{2}}}=\mu \mu _{0}{\boldsymbol {j}}}$,

${\displaystyle \triangledown ^{2}\phi -{\frac {1}{V^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}}$,

где

${\displaystyle \triangledown ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

представляет собой оператор Лапласа, ${\displaystyle {\epsilon _{0}}}$ – электрическая постоянная, ${\displaystyle {\epsilon }}$ – диэлектрическая проницаемость среды, ${\displaystyle {\mu _{0}}}$ – магнитная постоянная, ${\displaystyle {\mu }}$ – магнитная проницаемость среды, ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ – плотность тока проводимости, ${\displaystyle {\rho }}$ – объёмная плотность электрического заряда. Уравнения для потенциалов ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\phi }}$ имеют одинаковую математическую структуру, что оказывается удобным при нахождении их решения. Если заданы распределения электрического заряда и токов проводимости, то частные решения уравнений потенциалов электромагнитного поля могут быть записаны в виде т. н. запаздывающих потенциалов:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(x,y,z,t)={\frac {\mu \mu _{0}}{4\pi }}\iiint {\frac {{\boldsymbol {j}}(dx^{\prime },dy^{\prime },dz^{\prime },t-R/V)}{R}}dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }}$,

${\displaystyle \phi (x,y,z,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t)-R/V}{R}}dx^{\prime }dy^{\prime }dz^{\prime }}$,

где ${\displaystyle R={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}$, а интегрирование проводится по всей области пространства, где расположены электрические заряды и токи проводимости.

Уравнения для потенциалов электромагнитного поля имеют более простой вид, чем уравнения Максвелла, поэтому потенциалы электромагнитного поля широко используют для решения различных задач электродинамики.